Actions et representations de groupes modulaires – ModGroup

Nous utilisons des methodes transversales dans cette etude
en particulier issues de la topologie quantique.

Nous avons obtenu beaucoup (on est 13) de resultats recemment, par exemple: la conjecture de Witten pour beaucoup de varietes hyperboliques (Marche et collab), l'etude des representations finies (Masbaum et collab, Funar).

Nous esperons comprendre les representations quantiques et
la dynamique sur les espaces de modules.

(Masbaum, A. W. Reid) All finite groups are involved in the Mapping Class Group. Geometry and Topology (to appear)

(Masbaum, P. M. Gilmer) Dimension formulas for some modular representations of the symplectic group in the natural characteristic. Journal of Pure and Applied Algebra (to appear)

(Funar,W. Pitsch) Finite quotients of symplectic groups vs mapping class groups, 33p., arxiv:1103.1855, revision June 2012.

La physique theorique a eu depuis toujours une grande influence sur
la recherche mathematique, en tant que source d'inspiration
tout autant que recipient et utilisateur des nouvelles techniques
developpees par les mathematicien(ne)s.
Le role primordial
joue par les mathematiques dans l'avenement de theories
physiques avancees -- la theorie des cordes, par exemple -- est bien connu.


Les theories quantiques de champs topologiques ont fait leur
apparition sur le devant de la scene mathematique
par les travaux d'E.Witten a la fin des annees quatre-vingt.
Auparavant M.Atiyah, N.Hitchin et
S.Donaldson avaient considere les theories de Yang-Mills
(le modele standard de la theorie des particules)
comme objets mathematiques dignes d'une etude approfondie,
notamment en vue d'une autre approche de la
geometrie en dimension 4. Le succes de cette methode
a ete eclatant.
Les resultats de Witten confortent en plus l'idee
qu'on pourrait utiliser les techniques propres a la theorie
quantique pour obtenir de nouveaux resultats en
topologie de petite dimension.
Dans une forme simplifiee le principe annonce par ces decouvertes
nous dit une chose etonnante, que la
topologie en dimension trois et quatre represente un chapitre
de la physique, notamment de la theorie
quantique de champs. Toute une serie de resultats ont ensuite vu le jour, et de nouvelles directions de recherches se sont
developpees, formant ce qu'on appelle le monde quantique: les groupes
quantiques, les invariants quantiques etc.


Les resultats obtenus par ces methodes sont extraordinaires
surtout en dimension 4. La dimension 3 a \'et\'e le theatre d'autres
developpements, notamment la geometrisation de Thurston et
sa preuve complete par l'etude approfondie des flots de Ricci, d'apres
Hamilton et Perelman. Les retomb\'ees des techniques quantiques
ont ete plutot limitees dans cette dimension, en contraste
avec ce qui s'est passe en theorie des noeuds ou en dimension 4.
Des nouvelles directions ont emergees recemment autour de la
conjecture du volume (enonc\'ee par Kashaev) qui stipule
que le comportement asymptotique des invariants quantiques
du compl\'ement d'un noeud hyperbolique
d\'etermine son volume hyperbolique.

Notre point de vue est de considerer l'approche quantique
comme une m\'ethode nouvelle et puissante dans l'etude
des actions et des representations des groupes modulaires des
surfaces. La pauvrete des representations
lineaires interessantes du groupe modulaire est bien connue.
L'etude des actions sur des espaces naturellement
associes aux surfaces, comme les varietes de caracteres,
ainsi que leurs quantifications,
offre donc de nouvelles perspectives, o\`u se melangent
geometrie et topologie avec la dynamique.