Analyse Multifractale et Applications en Traitement d’Image et du Signal – AMATIS

The main originality of the approach consists in mixing researchers coming from theoretical mathematics, physics and signal and image processing.
We expect that this mixture of competences will allow us to solve the interdisciplinary challenges listed below

-The construction of new scaling functions
-The function space interpretation of the scaling function
-Theoretical multifractality results for stochastic models
-presence of oscillating singularities in turbulence
-Application of multifractal tools to natural textures
-Statistical tools for estimation procedures or hypothesis test procedures

Our goal is to arrive at a point where scientists from disciplines where multifractal tools have not already been tested can trust a scientific tool and software and test its pertinence on their favorite signals and images.

En dehors des publications, un site web dédié à l'analyse multifractale sera construit

L'analyse multifractale a deux composantes : sur le plan théorique, il s'agit de caractériser des singularités ponctuelles et de déterminer leurs dimensions fractionnaires; les applications ont pour but la mise en évidence de propriétés d'invariance d'échelle, caractérisées par la fonction d'échelle, et utilisées en classification et sélection de modèles. Des arguments heuristiques (de type grandes déviations et thermodynamique statistique), développés par Parisi et Frisch au milieu des années 80, ont permis de relier ces deux composantes par une transformée de Legendre (formalisme multifractal). Ceci a conduit à une nouvelle approche de l'étude des singularités de fonctions et de mesures, et à des outils performants pour la classification et la sélection de modèles; elles ont permis de trancher une question importante concernant la modélisation de la turbulence. Bien que la validité de ce formalisme ait été vérifiée sur des classes de fonctions d'origines diverses, son degré de généralité reste un problème ouvert. Malgré le succès de ses applications, les interactions entre développements théoriques et applications sont insuffisantes. Ainsi, l'utilisation en traitement d'images médicales est quasi-inexistante. Ceci est dû, en partie, au manque de coordination entre des contributions théoriques reposant sur une approche d'analyse fonctionnelle et de théorie géométrique de la mesure, et des applications dont le cadre naturel est stochastique et nécessitent une approche statistique.
Le projet AMATIS propose la construction d'un cadre cohérent et documenté qui s'appuie sur différentes approches théoriques et fasse le lien avec les applications. On traitera des problèmes de nature théorique, et on réalisera un site web, des logiciels et la documentation correspondante. Ce projet combine les efforts de mathématiciens, physiciens et spécialistes de traitement du signal et de l'image. La diffusion au sein de champs scientifiques divers, et leurs interactions auront aussi lieu grâce à l'école d'été et la conférence internationale. Les principales questions traitées sont les suivantes:
De multiples variantes du formalisme sont disponibles (construites sur des moyennes Lp d'accroissements, oscillations, coefficients d'ondelettes, sup locaux). Leurs relations, et les domaines de validité, sont des questions fondamentales et ont un impact très fort sur les applications. Comment estimer la classe (ou l'espace) auquel appartiennent des données mesurées ? Comment traiter les problèmes spécifiques posés par les frontières fractales, ou les singularités oscillantes, et trouver les formalismes adaptés ?
Pour réconcilier les aspects théoriques (analyse fonctionnelle et théorie géométrique de la mesure) et pratiques (stochastique et statistique), on construira et étudiera des nouveaux processus et séries temporelles à plusieurs variables, aux propriétés multifractales prescrites, et on introduira un cadre statistique satisfaisant pour résoudre les problèmes d'estimation, et de classification. Ce dernier point fournira des intervalles de confiance pour l'estimation de paramètres multifractals, et permettra de réaliser des tests entre plusieurs modèles multifractals en compétition, de tester mono- contre multi-fractalité, et de déterminer si des données doivent être modélisées par des fonctions continues ou des mesures, ce qui constitue un pré-requis crucial pour une utilisation correcte des outils d'analyse multifractale.
Pour encourager les transferts de technologie, la dissémination des résultats et les collaborations, on construira un site web ouvert et convivial, dédié à l'analyse multifractale, ainsi que des logiciels pour la synthèse de processus de référence, et l'analyse de données expérimentales; il sera fortement documenté et illustré (exemples, contre-exemples, pièges), et conçu de façon évolutive, et avec l’objectif de perdurer et de continuer à se développer au delà de la fin du projet.