Géométrie et dynamique dans les espaces de modules – GeoDyM

Le projet « Géométrie et Dynamique de l'espace des Modules » est un projet en mathématiques. C'est un projet en systèmes dynamiques mais il est à la frontière de la dynamique, géométrie, géométrie algébrique, topologie, combinatoire et théorie des représentations. Certains problèmes classiques en dynamique unidimensionnelle, billards polygonaux, feuilletage sur les surfaces peuvent être résolus grâce à des résultats récents sur les espaces de modules. Réciproquement, les méthodes dynamiques et géométriques produisent des résultats sur les espaces de modules qui sont difficiles à obtenir par la géométrie algébrique ou l'analyse complexe.

Voici une liste de problèmes concrets qui constituent le cœur du projet :

Surfaces à petits carreaux, surfaces de Veech et leurs algorithmes de fractions continues, induction de Rauzy-Veech et diagrammes de Rauzy, application de la théorie des représentations des groupes finis, disques de Teichmüller arithmétiques, expanseurs.
Exposants de Lyapunov, en particulier les exposants de Lyapunov des revêtements cycliques et des disques de Teichmüller arithmétiques, compactification géométrique des strates, comportement asymptotique du déterminant du laplacien plat et constantes de Siegel-Veech.
Spectre du laplacien hyperbolique feuilleté, incluant l'étude des propriétés analytiques de la fonction zeta de Ruelle.
Asymptotique quand le genre tend vers l'infini et surfaces de translation infinies, propriétés ergodiques des surfaces de translation infinies, diffusion et modèle de « Wind Tree », asymptotique des caractéristiques géométriques et dynamiques des strates lorsque le genre tend vers l'infini.
Problèmes des petites dilatations, géométrie et topologie des strates de l'espace des modules incluant l'étude des systoles des strates, applications des techniques issues des variétés de dimension 3, étude de la métrique Lipshitz, des réseaux ferroviaires et du groupe fondamental des strates.

Les chercheurs sont regroupés en trois partenaires : Rennes, Marseille, Paris.

Le partenaire « Paris » est constitué des experts mondiaux en systèmes dynamiques comme Avila, Krikorian, Yoccoz et un des experts mondiaux en géométrie à savoir Kontsevich.

Le partenaire « Marseille » regroupe des experts de très haut niveau sur les propriétés combinatoires des systèmes dynamiques comme Arnoux et Ferenczi, ce groupe est complémentaire au groupe parisien. Le partenaire marseillais a aussi un excellent groupe en dynamique géométrique comme Boissy, Hubert, Lanneau, Los. Ce groupe fait un lien entre les deux autres. Enfin, ce partenaire a une très bonne équipe en programmation autour de Delecroix, Monteil (avec des correspondants comme Lelièvre à Paris ou Bauer à Rennes).

Le partenaire « Rennes » a une excellente équipe en géométrie avec Lenzhen et Wiest (cette équipe est complémentaire à l'équipe de géométrie algébrique de Paris ainsi qu'à l'équipe de dynamique géométrique de Marseille). Ce partenaire a aussi un groupe très fort en dynamique autour de Gouëzel et Zorich qui s'occuperont des parties spectrales (laplacien, exposants de Lyapunov) et seront complémentaires aux groupes de systèmes dynamiques parisiens et Marseillais.

Les problèmes sur lesquels nous nous proposons de travailler sont très ambitieux et demandent de combiner plusieurs approches. Nous espérons que le savoir-faire des différents groupes nous permettra d'attaquer tous ces problèmes de front.

La condition nécessaire du succès du projet est que nous soyons en contact permanent avec les autres experts mondiaux du sujet. Nous souhaitons inviter les spécialistes de notre domaine de recherche et leurs rendre visite le plus souvent possible. Plusieurs projets en cours des membres du consortium sont menés en collaboration avec des experts internationaux de notre domaine venant des USA, d'Allemagne, Italie.

Nous projetons d'organiser deux rencontres entre les membres du projet ainsi qu'une grande conférence précédée d'une école d'été.