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Topologie de contact en grandes dimensions – TCGD

Topologie de contact en grandes dimensions

À quel point la topologie de contact en dimensions trois et en plus grandes dimensions diffèrent ou se ressemblent ?

Faire avancer la topologie de contact en grande dimension

La topologie de contact est une branche relativement jeune de la géométrie. Elle est apparue comme une partie de la géométrie symplectique mais forme maintenant un domaine en soit. La plupart des efforts dans ce domaine durant les trente dernières années ont porté sur la dimension trois. À côté de cela, en dimension cinq et plus, la topologie de contact n'a pas encore atteint le stade d'une théorie systématique mais est formée une collection d'exemples et de phénomènes intéressants. L'objectif de ce projet est d'avancer de façon décisive la topologie de contact en grande dimension et de répondre à la question ci-dessus.

La stratégie pour répondre à notre question consiste à considérer des propriétés des variétés de contact en dimension trois et à vérifier si elles restent vraies, ou si elles sont généralisables, en grande dimension. L'originalité de notre approche n'est pas tant dans les questions posées que dans les méthodes que nous voulons développer pour y répondre. Notre stratégie est habituellement en deux volets. En utilisant principalement la théorie des courbes holomorphes à bord dans des sous-variétés feuilletées maximales, nous pensons pouvoir prouver que certaines définitions généralisées conduisent aux propriétés attendues. Parallèlement à cela, nous avons à trouver des exemples de variétés de contact partageant ces propriétés, à analyser quels types de sous-variétés feuilletées elles contiennent et à étudier comment ces exemples se comportent lors de certaines modifications et constructions. Nous espérons que le succès de ce projet fournirait un beau panel de critères à tester sur chaque variété de contact et donnerait une impulsion suffisante à ce domaine pour rediriger l'attention de la dimension trois vers les dimensions supérieures.

La prépublication [MNW] de Patrick Massot et Klaus Niederkrüger (membres du projet ANR) et Chris Wendl démontre l’existence en grandes dimensions d’un certain nombre des phénomènes importants de la dimension 3 décrits dans la section précédente, en particulier on trouve une possible généralisation à la torsion de Giroux.

Le premier outil introduit est une notion de remplissage symplectique faible en grandes dimensions. Nous montrons que les différentes notions de structures de contact vrillées proposées par Giroux et Niederkrüger interdisent toutes deux l’existence de tels remplissages.

Outre l’intérêt intrinsèque d’avoir une notion plus faible mais toujours non triviale, cette étude permet de démontrer indirectement que certaines variétés de contact ne sont pas fortement (ou a fortiori holomorphiquement) remplissables.
La stratégie consiste à montrer que tout remplissage fort pourrait être étendu par un cobordisme symplectique en remplissage faible d’une nouvelle variété de contact qui est vrillée au sens de Niederkrüger.

Le résultats obtenus amènent à plusieurs questions importantes. Entre autres :

* est-ce que les différents notions de vrillée dû à Giroux et Niederkrüger, sont-elles équivalentes ?
* Peut-on trouver d'exemples de variétés faiblement, mais pas fortement remplissables en toute dimension?
* Que peut-on dire sur les variétés construites par Bourgeois ?

[MNW] P. Massot, K. Niederkrüger, and C. Wendl, «Weak and strong fillability of higher dimensional contact manifold«, arxiv :1111.6008.


[N11] K. Niederkrüger A. Rechtman. «The Weinstein conjecture in the presence of submanifolds havin

La topologie de contact est une branche relativement jeune de la géométrie. Elle est apparue comme une partie de la géométrie symplectique mais forme maintenant un domaine en soit. La plupart des efforts dans ce domaine durant les trente dernières années ont porté sur la dimension trois. À côté de cela, en dimension cinq et plus, la topologie de contact n'a pas encore atteint le stade d'une théorie systématique mais est formée une collection d'exemples et de phénomènes intéressants.

L'objectif de ce projet est d'avancer de façon décisive la topologie de contact en grande dimension et la méta-question qui guide nos recherches est : à quel point la topologie de contact en dimensions trois et en plus grandes dimensions diffèrent ou se ressemblent ?

La stratégie évidente pour répondre à cette question consiste à considérer des propriétés des variétés de contact en dimension trois et à vérifier si elles restent vraies, ou si elles sont généralisables, en grande dimension. L'originalité de notre approche n'est pas tant dans les questions posées que dans les méthodes que nous voulons développer pour y répondre.

Notre stratégie est habituellement en deux volets. En utilisant principalement la théorie des courbes holomorphes à bord dans des sous-variétés feuilletées maximales, nous pensons pouvoir prouver que certaines définitions généralisées conduisent aux propriétés attendues. Parallèlement à cela, nous avons à trouver des exemples de variétés de contact partageant ces propriétés, à analyser quels types de sous-variétés feuilletées elles contiennent et à étudier comment ces exemples se comportent lors de certaines modifications et constructions.

Nous espérons que le succès de ce projet fournirait un beau panel de critères à tester sur chaque variété de contact et donnerait une impulsion suffisante à ce domaine pour rediriger l'attention de la dimension trois vers les dimensions supérieures.

Coordinateur du projet

Monsieur Klaus NIEDERKRÜGER (UNIVERSITE TOULOUSE III [PAUL SABATIER]) – niederkr@math.univ-toulouse.fr

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UPS - IMT UNIVERSITE TOULOUSE III [PAUL SABATIER]

Aide de l'ANR 40 000 euros
Début et durée du projet scientifique : - 36 Mois

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