Aspects geometriques, analytiques et algorithmiques des groupes – GGAA

L'idee de comprendre une geometrie via le groupe de transformations qui la preserve, qui remonte a Felix Klein et au programme d'Erlangen, a ete graduellement utilisee dans le sens inverse : comprendre un groupe via ses actions sur des espace metriques. Quelques uns des groupes les plus omnipresents (les reseaux, Out(Fn), mapping class groups) agissent sur de divers espaces `a l'allure symmetrique'. Ces actions sont une riche source d'information sur ces groupes, et sont a la base d'analogies profondes.

Le point de vue qui consiste a comprendre un groupe via ses actions a inspire aussi de nouvelles relations d'equivalence et la recherche d'invariants par rapport a ces relations. L'equivalence quasi-isometrique a ete definie pour couvrir (sans etre equivalente a) la situation ou deux groupes G1 et G2 agissent proprement discontinument sur le meme espace metrique X.

On peut mesurer la ‘compatibilite’ entre un groupe en un espace metrique en etudiant la difference metrique entre une orbite et le groupe. Pour des groupes infinis cette compatibilite est mesuree par la compression, alors que pour les groupes et graphes finis elle est mesuree par la distorsion.

Dans cet etude des graphes et de leur plongement (equivariant) dans des espaces variees les geometres et les analystes rencontres des themes qui ont attire beacoup d'interet en informatique theorique et optimisation combinatorielle. Dans ces domaines une manniere de resoudre des problemes consiste a plonger la structure combinatorielle etudiee dans un espace metrique `bien compris' et a utiliser la `bonne geometrie' ambiente pour construire un algorithme. Dans le theme des plongements dans des espaces hilbertiens deux classes de graphes sont particulierement significatifs: les graphes expanseurs et les graphe medians.

Ce projet etudie tous ces themes tres inter-connectes, melangeant geometrie, analyse et combinatoire.