Bayésien non paramétrique, techniques en grandes dimension et simulations – Banhdits

Les méthodes bayésiennes non paramétriques se sont grandement développées ces 10 dernières années, de part leur flexibilité et du fait du cadre probabiliste cohérent qu’elles définissent. Dans ce projet nous nous intéresserons aux méthodes bayésiennes non paramétriques selon 3 axes fortement imbriqués : (1) Modèles complexes (2) Etude asymptotique (3) Enjeux computationnels. Axe 1 : Un certain nombre de modèles complexes seront étudiés. Comme les approches bayésiennes sont naturellement pénalisantes et favorisent les modèles plus sparses, elles sont bien adaptées aux modèles sparses de grande dimension (une faible proportion des composantes du paramètre est non nulle); malgré tout il existe peu de résultats théoriques dans ce cadre. De plus, des extensions incluant des dépendances spatiales dans la structure de sparsité nous intéressent, ainsi que l’étude de leurs bénéfices potentiels. Une autre grande famille de modèles bayésiens non paramétriques porte sur les mélanges évoluant dans le temps, à travers notamment des lois a priori de type processus de Dirichlet dépendants. Ces derniers ont été très développés ces dernières années mais leurs propriétés théoriques et computationnelles restent mal connues. Un domaine d’application dans lequel ils sont utiles est celui des problèmes inverses pour des processus de Poisson (ex. en Position Emission Tomographie). Mais contrairement aux approches fréquentistes, la littérature bayésienne sur le sujet est peu développée. Enfin la dernière grande famille de modèles qui nous intéressera porte sur les équations différentielles stochastiques observées à temps discret. Les approches bayésiennes y sont peu développées et beaucoup reste à faire. Axe 2 : Depuis les années 2000, de nombreux travaux portent sur les propriétés asymptotiques de la loi a posteriori non paramétrique. Malgré tout de grandes questions restent ouvertes, notamment les vitesses de concentration de la loi a posteriori (autour du « vrai » paramètre) pour des distances très différentes de la divergence de Kullback sont mal connues. De plus les propriétés de type Bernstein – von Mises dans les modèles semi-paramétriques n’en sont encore qu’à leurs balbutiements, or celles-ci sont importantes car elles assurent une forte équivalence entre approches bayésiennes et fréquentistes. Enfin, un autre aspect crucial de l’inférence bayésienne porte sur la construction de tests. Les tests bayésiens les plus courant sont basés sur le facteur de Bayes. Si la consistence des facteurs de Bayes a été partiellement étudiée, les vitesses de séparation des tests associés sont encore inconnues. Axe 3 : Les enjeux computationnels restent majeurs dans les modèles de grande dimension, malgré les avancées significatives des algorithmes de type MCMC (Monte Carlo par Chaîne de Markov). Nous nous intéresserons notamment au développement d’algorithmes génériques, i.e. se généralisant à des contextes très différents, selon des méthodes récentes de type Monte-Carlo séquentiel et MCMC adaptatif. Enfin, nous proposons d’étudier la perspective inverse, à savoir l’utilisation de techniques non paramétriques afin d’améliorer les algorithmes MCMC, comme cela commence à se faire dans les algorithmes ABC (Approximate Bayesian Computation).