Estimation statistique en grande dimension – SESAME

L'objectif du projet est d'´etudier un certain nombre de probl`emes d'estimation rencontr´es dans le domaine
du traitement du signal et des communications num´eriques. On ´etudie des situations dans lesquelles le
signal observ´e yn correspond `a une s´erie temporelle multivari´ee de dimension M et o`u il s'agit d'estimer
une fonction de la matrice de covariance RM = E(ynyH
n ) du signal re¸cu. Les estimateurs standards
consistent g´en´eralement `a remplacer la “vraie” matrice de covariance RM, inconnue, par la matrice de
covariance empirique d´efinie par
ˆR
M =
1
N
XN
n=1
ynyH
n , (1)
o`u N est le nombre d'observations disponibles. Malheureusement, les estimateurs ainsi obtenus ne fonctionnent
raisonnablement que dans le cas o`u la dimension M du vecteur observ´e est petite devant le
nombre N d'observations disponibles. Cependant, dans de nombreux contextes applicatifs, tel que les
communications mobiles, le nombre d'observations N que l'on peut collecter ou utiliser est limit´e. Dans
ces conditions, d`es que la dimension M de l'observation est cons´equente, M et N sont du mˆeme ordre
de grandeur. Notre but est de d´evelopper des outils d'estimation robustes dans ce contexte. Nous nous
concentrons en outre sur le cas o`u les dimensions N et M sont “grandes”. Ce cas de figure permet de
d´ecrire efficacement un large panel de situations en communications num´eriques tels que les syst`emes `a
acc`es multiples supportant un grand nombre d'utilisateurs, les grands r´eseaux de capteurs, etc. Le but
de ce projet est de d´evelopper estimateurs pertinents fond´es sur la th´eorie des grandes matrices al´eatoires.
Lorsque M et N sont tous les deux “grands” et du mˆeme ordre de grandeur, il est pertinent de se
placer dans le cadre conceptuel N ! +1, M ! +1 et M/N ! o`u est une certaine constante
strictement positive, et de chercher `a mettre en ´evidence des estimateurs consistants, c'est-`a-dire assur´es
de converger vers les vraies valeurs des param`etres si N ! +1, M ! +1 et M/N ! . Cette propri
´et´e de consistance permet en pratique d'obtenir des estimateurs raisonnablement performants. Alors
que les estimateurs traditionnels sont non consistants, une approche, propos´ee par Girko, fond´ee sur la
th´eorie des grandes matrices al´eatoires, et d´evelopp´ee plus avant par Mestre et Rubio, permet d'estimer
de mani`ere consistante des fonctionnelles des valeurs propres de RM `a partir de ˆRM ainsi que certains
param`etres qui mettent en jeu les vecteurs propres de RM. Un important travail th´eorique et pratique
reste cependant `a mettre en oeuvre afin de construire et d'analyser des estimateurs bas´es sur ce genre
d'approches pour des mod`eles de plus en plus g´en´eraux.
Dans un premier temps, il est propos´e d'´etablir un ´etat de l'art complet sur les outils math´ematiques
bas´es sur la th´eorie des grandes matrices al´eatoires et permettant d'une part de construire des estimateurs
consistants d'une large classe de param`etres, d'autre part d'analyser leurs performances en r´egime
asymptotique.
Plusieurs probl`emes sp´ecifiques relevant de la probl´ematique du projet se posent dans la liaison
descendante de syst`emes d'acc`es multiples bas´es sur les techniques CDMA et MC-CDMA. Dans le cadre
d'applications `a la radio cognitive ou `a la m´etrologie des r´eseaux cellulaires utilisant le CDMA, un
r´ecepteur mobile donn´e est amen´e `a sonder le r´eseau pour se faire une id´ee de la qualit´e de la liaison
qu'il pourrait demander d'´etablir, ou pour surveiller son fonctionnement. Pour ceci, il est n´ecessaire
qu'il estime certains param`etres, sans aucune connaissance pr´ealable du nombre d'utilisateurs et des
codes d'´etalements utilis´es par les autres utilisateurs. Dans un tel contexte, il est propos´e de d´efinir et
d'analyser i) des estimateurs du nombre d'utilisateurs, ii) des estimateurs de la distribution de puissance
de l'ensemble des utilisateurs.
Un certain nombre de probl`emes d'estimation sont li´es aux mod`eles dits “information+bruit”. Dans
ce cas de figure, on suppose que la matrice Y = (y1, . . . , yN) peut ˆetre vue comme la somme d'une
matrice (d´eterministe ou al´eatoire) X = (x1, . . . , xN) et d'une perturbation al´eatoire V = (v1, . . . , vN)
ind´ependante de X, soit Y = X + V. On se propose alors de construire et d'analyser des estimateurs
consistants de certains param`etres d´ependant de la matrice 1
NXXH `a partir de la matrice des observations
Y. Ce type de probl`eme est peu abord´e dans la litt´erature dans le contexte des grandes dimensions qui
est ´etudi´e ici. Un important travail th´eorique et pratique reste `a entreprendre. Diverses applications
motivent l'´etude de ce probl`eme, en particulier l'estimation de directions d'arriv´ees de signaux sources
corr´el´es grˆace `a un r´eseau de capteurs, ou encore la mise en oeuvre de r´ecepteurs lin´eaires robustes `a une
estimation imparfaite du canal dans le contexte des syst`emes de communications multi-antennes.
Enfin, nous proposons d'´etudier un certain nombre de probl`emes dans la lign´ee des questions cidessus
faisant intervenir des s´eries temporelles. Deux probl`emes diff´erents seront consid´er´es. On se
penche d'abord sur l'analyse de performances des filtres de Wiener de grande dimension. Dans ce cas, on
suppose que l'observation (yn)n2Z est un s´erie temporelle scalaire ´egale `a la sortie d'un filtre de fonction
de transfert h(z) excit´e par une s´equence blanche sn et perturb´ee par un bruit blanc gaussien additif vn
: yn = [h(z)]sn + vn. Dans ce cas de figure, on cherche `a r´esoudre un certain nombre de probl`emes li´es
`a l'estimation du filtre de Wiener permettant d'extraire l'information transmise sn. Une autre partie de
l'´etude est consacr´ee `a l'analyse des m´ethodes sous-espace dans le cas de s´eries temporelles : estimation
des fr´equences de sinuiso¨ides bruit´ees par m´ethodes sous-espace et estimation de canal pour les syst`emes
MIMO.