Hamilton-Jacobi et théorie KAM faible : à l'interface des EDP, systèmes dynamiques lagrangiens et symboliques – KAMFAIBLE

Le but de notre projet est de rassembler les mathématiciens français qui travaillent dans des domaines liés aux équations d'Hamilton-Jacobi : systèmes dynamiques, EDP, contrôle optimal, afin de provoquer de nouvelles avancées dans un sujet qui a connu un grand développement ces dix dernières années. Ce sujet est maintenant appellé la théorie KAM faible . - - Il est claire qu'une des grandes originalités de notre projet est que des gens d'horizon très différents en mathématiques collaborent déjà ensemble sur ces problèmes qui nécessitent pour être résolus des outils mathématiques de domaines assez distants. Par ailleurs, le cercle des idées de la théorie faible de KAM trouve de plus en plus de domaines où on peut l'appliquer. - - Initialement Hamilton et Jacobi ont utilisé les solutions des équations d'Hamilton-Jacobi pour trouver des orbites dans des systèmes mécaniques classiques, qui font maintenant partie de la théorie des systèmes dynamiques lagrangiens. Cette équation a été essentiellement utilisée dans les systèmes lagrangiens, pendant longtemps comme une technique locale, par l'intermédiaire de la méthode des caractéristiques. C'était dû à l'absence de solutions globales lisses (au moins C1). Naturellemnt, l'intérêt pour les aspects EDP a été également très grand dès que l'on a réalisé que beaucoup de problèmes du contrôle optimal pouvaient être formulés dans ce cadre. - - Dans les années 1980, la théorie des systèmes dynamiques lagrangiens et la théorie EDP des équations d'Hamilton-Jacobi on fait d'immenses progrès sur les aspects globaux, dû à la découverte des ensembles d'Aubry-Mather, du côté dynamique, et à l'introduction des solutions de viscosité, du côté des EDP. Vers la fin des anées 1990, la connexion entre les ensembles d'Aubry-Mather et les solutions de viscosité a été découverte. Cela a produit beaucoup de résultats : comportement asymptotique du semi-groupe de Lax-Oleinik, existence d'orbites homoclines, homogénéisation ergodique stationnaire, relation avec l'équation d'Aronsson-Euler, progrès dans l'étude des solutions obtenues par la méthode de la viscosité évanouissante. - - La théorie KAM fiable de KAM a, depuis lors, vu sa portée étendue à différents domaines : optimisation ergodique, solutions de viscosité discrètes, relation avec le problème de transport Monge, fonction de Lyapunov, fonctions temps sur les variétés lorentziennes. - - Ces progrés sont essentiellement dû gràce aux interactions entre ces différents sujets mathématiques. Il reste beuacoup de problèmes non résolus attrayants et interdisciplinaires dans le sujet. Nous proposons de faire travailler sur certains d'entre eux, non seulement les membres de l'équipe, mais également les post_doctorants que nous espérons recruter sur ce contrat, ainsi que des thésards. - - Certains des problèmes que nous voulons étudier sont : régularité des solutions de l'équations de Hamilton-Jacobi, comportement asyptotique de semi-groupe de Lax-Oleinik pour des solutions non bornées, optimisation ergodique, hamiltoniens non convexes, généralisation dela théorie aux domaines à bord non vide, applications à la mécaniques céleste, ainsi qu'aux problèmes de contrôles. - - Nous emploierons les fond alloués pour nous réunir régulièrement, inviter des mathématiciens de l'étranger, organiser deux conférences internationales et diffuser notre connaissance par des cours donnés dans le monde entier. ...