Flots et opérateurs géométriques – FOG

La technique du flot de la courbure de Ricci a été introduite par R. Hamilton en 1982, dans un article devenu célèbre. Le but de la méthode est de construire une déformation d'une métrique riemannienne sur une variété compacte qui la fasse évoluer vers une métrique plus "belle" au sens où elle vérifie des propriétés fortes comme d'être d'Einstein. En dimension 3 une telle métrique est de courbure constante. Le but poursuivi par R. Hamilton était de prouver la conjecture de Poincaré (et plus tard la conjecture de géométrisation de W. Thurston) en construisant sur une variété simplement connexe une métrique de courbure constante. Il n'a pas pu atteindre cet objectif ambitieux, néanmoins il a obtenu des résultats importants et surtout construit un édifice remarquable. Entre décembre 2002 et juillet 2003, G. Perelman a déposé sur la Toile 3 articles dans lesquels il annonçait la preuve des conjectures de Poincaré et de Thurston. Le style elliptique de la rédaction est tel que ces textes sont à considérer comme des schémas de preuve assez précis (et finalement assez clairs) plutôt que comme des articles prêts à être publiés. Plusieurs groupes de travail se sont alors créés, partout dans le monde, afin de clarifier les différents points et de produire des notes facilitant la lecture des textes ci-dessus. En France, la communauté des géomètres a mis du temps à réagir et les seules personnes, à notre connaissance, ayant poursuivi la lecture des articles de G. Perelman jusqu'au bout sont parmi les participants au projet. Il est maintenant considéré que les deux conjectures sont prouvées. Les membres suivants du projet : L. Bessières, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot et J. Porti (Université autonome de Barcelone, associé au projet), écrivent une preuve complète de la géométrisation. Ce travail est financé par le Clay Institute.. Notons que les spécialistes du sujet sont aux U.S.A. et dans une moindre mesure en Chine mais le sujet est peu représenté en Europe à l'exception de quelques individualités. Nous souhaitons maintenir en France une expertise sur une technique d'avenir. Un des objectifs majeurs du projet est de diffuser cette technique révolutionnaire et ses applications, et aussi de les généraliser. En dimension plus grande par exemple, la géométrie et la topologie des variétés est mal connue, même en dimension 4. Nous souhaitons étendre les techniques développées en dimension 3, en leurs associant d'autres techniques introduites récemment pour étudier la géométrie et la topologie des variétés de dimension 4, à savoir les opérateurs covariant conformes et leurs invariants associés, la Q-courbure et les flots d'ordre supérieur associés à ces invariants. Parmi les activités prévues dans celui-ci, signalons le trimestre, co-organisé par G. Besson, J. Lott et G. Tian, à l'institut Borel, d'avril à juin 2008, sur la courbure de Ricci qui inclut une forte composante sur le flot de Ricci et ses applications, en particulier un colloque consacré à ce thème. Rappelons que ce trimestre aura lieu exactement deux ans après la parution des premières notes complètes sur les travaux de Perelman et nous espérons que la délibération de l'Institut Clay sur l'attribution du prix (1 million de dollards) sera annoncée au même moment. En juillet 2008, un atelier, organisé à Brest par P. Baird complètera l'activité. Ces rencontres contiendront une très forte composante éducative. En effet, des cours de tous niveaux seront organisés afin que des étudiants de niveau Mastère II puissent assister (et participer) aux colloques. C'est la raison pour laquelle les ateliers auront lieu en juin et pas avant.