Dynamiques de faible régularité via les arbres décorés – LoRDeT

Des dynamiques à faible régularité sont utilisées pour décrire divers phénomènes physiques et biologiques proches d'états
critiques. La faible régularité provient du bruit singulier (aléatoire) ou de la valeur initiale singulière (aléatoire).
Le premier exemple est celui des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) utilisées pour décrire des
croissances d'interfaces (équation KPZ) et la dynamique de la théorie quantique euclidienne des champs (quantification stochastique). La seconde concerne les EDP dispersives avec des données initiales aléatoires qui peuvent être utilisées pour
comprendre la turbulence des ondes. Une percée récente est la résolution d'une grande classe d'EDPS singulières à travers la théorie des Structures de Régularité inventée par Martin Hairer. Une telle résolution a été possible grâce à l'aide d'arbres décorés et de leurs structures d'algèbres de Hopf pour effectuer les procédures cruciales de renormalisation. Les arbres décorés sont utilisés pour étendre les solutions de ces dynamiques. Ils apparaissent également pour décrire les schémas de résonance pour une grande classe d'EDP dispersives à faible régularité. L'objectif de ce projet est d'approfondir le champ de résolution donné par les arbres décorés et leurs structures algébriques de Hopf. Une des idées principales est de développer des outils algébriques au moyen de déformations algébriques. Nous voulons voir les algèbres de Hopf utilisées pour les EDPS comme une déformation de celles utilisées dans divers domaines tels que l'analyse numérique et la théorie quantique perturbative des champs. C'est crucial de
travailler en interaction avec ces différents domaines afin d'obtenir les meilleurs résultats pour les EPDS singulières et
EDP dispersives. Nous nous concentrerons sur les objectifs à long terme suivants :
1. Donner une notion d'existence et d'unicité de deux classes d'EDPS singulières : les quasi-linéaires et
les EDPS dispersives.
2. Identifier le processus dont la dynamique a la mesure de la boucle brownienne comme mesure invariante via une
extension de la résolution des EDPS à la dynamique discrète.
3. Développer les structures algébriques des EDPS singulières en lien avec l'Analyse Numérique, la
Théorie des champs quantiques perturbatives et les chemins rugueux.
4. Utiliser des arbres décorés pour les EDP dispersives avec des données initiales aléatoires et fournir une méthode systématique
pour dériver les équations cinétiques de la turbulence des ondes.
5. Développer une plate-forme logicielle pour les arbres décorés et leurs structures algébriques de Hopf qui apparaissent
dans les EDPS singulières et les EDP dispersives.