Espaces de deforMations dEs stRuctures GéométriquEs – EMERGE

L’étude des (G,X)-structures sur les variétés, entreprise au cours de la seconde moitié du 20e siècle entre autres par Charles Ehresmann et William Thurston, trouve son inspiration dans le célèbre programme d’Erlangen de 1872, par lequel Felix Klein promut l’étude des géométries à travers leurs groupes de symétries. Les (G,X)-structures se trouvent à l'intersection de plusieurs disciplines, notamment la géométrie différentielle et algébrique, la topologie en basses dimensions, la théorie des représentations, la théorie des nombres, l'analyse réelle et complexe, ce qui rend le sujet très riche et fascinant.

Ce projet vise à obtenir des progrès importants vers trois défis scientifiques dans le cadre des structures géométriques pseudo-riemanniennes :

i) l'étude des variétés hyperboliques quasi-fuchsiennes au travers les surfaces minimales et de courbure moyenne constante, en particulier afin d'obtenir la solution de deux conjectures d'Andrews et de Thurston ;

ii) l'étude des sous-variétés de type espace dans l'espace pseudo-hyperbolique, afin d'obtenir des résultats d'existence et des estimations quantitatives sous certaines conditions de courbure ; cela inclut le cas de l'espace Anti-de Sitter, qui a des applications importantes en théorie de Teichmüller ;

iii) la compréhension des espaces de déformations, au travers la construction de métriques (para)-hyperkähleriennes et l'étude de leurs propriétés géométriques.

Je propose une approche innovante pour l'étude des (G,X)-structures. Cette approche, en reposant sur des résultats préliminaires, permettra de développer un cadre analytique, qui intègre trois types de techniques : les estimations a priori pour les sous-variétés, les flots géométriques et l'analyse en dimension infinie.

Au-delà des résultats nouveaux qui sont attendus, ce projet vise à mettre en valeur les nombreuses possibilités encore inexplorées que les méthodes analytiques peuvent apporter à l’étude des (G,X)-structures, et pourrait donc avoir un impact à long terme sur les communautés de chercheurs en géométrie topologique et en analyse géométrique.