Analyse mathématique du polaron bosonique – MaBoP

À très basse température, un gaz d'atomes bosoniques froids subit une transition de phase et forme un condensat de Bose-Einstein, caractérisé par un comportement quantique collectif. L'ajout d'une autre particule (impureté) permet de mettre en évidence ses propriétés fondamentales. De tels systèmes sont prometteurs de nombreuses applications en technologie quantique.

À température nulle, et sans interaction, la totalité des bosons occupe le même état quantique à un corps. À faible interaction, cet état est modifié et un certain nombre particules occupent des états excités de plus hautes énergies. Ce phénomène fût décrit pour la première fois par Bogoliubov en 1947, qui démontra un mécanisme d'excitation par pairs via un formalisme de champ quantique.

L'objet de ce projet est l'étude mathématique des condensats de Bose-Einstein en présence d'une, ou de plusieurs, impureté(s). Une question particulièrement intéressante est l’interaction entre les impuretés et les excitations du condensat. Notre objectif est de démontrer la validité d'un modèle effectif de particules en interaction avec le champ de Bogoliubov. Récemment, le cas d'un gaz à haute densité avec interactions faibles a été résolu sur le tore (cas homogène).

Afin de se rapprocher du cadre experimental, nous généraliserons ces résultats dans deux directions.
Nous résoudrons d'une part le cas du gaz dilué où les interactions sont singulières (collisions rares mais de forte intensité). Ces systèmes possèdent une structure de correlation non-négligeable qui requiert la renormalization de la théorie de Bogoliubov.
D'autre part, nous analyserons le cas des systèmes non périodiques. Pour les systèmes étendus une analyse précise des différentes échelles permettra de réduire le problème au cas homogène.

Ces travaux permettrons une meilleure compréhension de l'approximation de Bogoliubov et plus généralement de la représentation de systèmes de matière condensée en terme de quasi-particules.