Algébres d'opérateurs et théorie des représentations des groupes et groupoïdes de Lie – OpART

Les algèbres d’opérateurs et la théorie des représentations proviennent d’une origine commune au début du XXe siècle. Hermann Weyl a résolu des problèmes en géométrie spéctrale (par ex, la formule asymptotique de Weyl) et en théorie de représentations (par ex, le théorème de Peter-Weyl) et on peut dire la même chose de Von Neumann, Gelfand, Dixmier, et de nombreux autres. Des avancées récentes montent encore la synergie entre les deux sujets. Dans ce projet, on utilisera des algèbres d’opérateurs provenant de groupes et groupoïdes de Lie pour résoudre des problèmes spécifiques en théorie de représentations et analyse harmonique et microlocale.
L’influence de la théorie des représentations sur les algèbres d’opérateurs se voit, par exemple, dans la preuve récente de la conjecture d’Helffer-Nourrigat, qui propose un critère en termes de représentations pour l’hypo-ellipticité des opérateurs différentiels qui sont polynômes en champs vectoriels. Dans l’autre sens, des constructions explicites de représentations unitaires des groupes de Lie semi-simples réels et leurs opérateurs d’entrelacement sortent souvent de l’analyse des opérateurs différentiels et pseudo-différentiels (sous-)elliptiques, et peuvent être généralisés avec des méthodes de la théorie de l’indice équivariante.
On se propose de raffine et généraliser les résultats ci-dessus afin d’obtenir des classes d’opérateurs pseudo-différentiels et intégraux de Fourier qui sont adaptés à des situations géométriques nouvelles, y comprises des variétés multi-filtrées. Ensuite, les opérateurs obtenus peuvent être utilisés pour mieux comprendre la structure du dual unitaire d’un groupe de Lie semi-simple réel. Plus précisément, on pourra obtenir des raffinements des conjectures de Baum-Connes et Connes-Kasparov, et aussi des constructions explicites des opérateurs de branchement qui définissent la correspondance de Howe entre les représentations unitaires d’une paire de groupes réductive duale.