Groupes d'Artin, groupes modulaires et Out(Fn) : de la géométrie aux algèbres d'opérateurs via l'équivalence mesurée – Artin-Out-ME-OA

La courbure négative dans les groupes d'Artin, les groupes modulaires de surfaces et les groupes d'automorphismes extérieurs de groupes libres, a été un objet d'étude majeur en géométrie des groupes. Je propose de confronter ce point de vue avec des développements récents en théorie mesurée des groupes et algèbres d'opérateurs. L'attention porte sur des résultats de structure et rigidité en équivalence mesurée, et pour les algèbres de von Neumann associées à ces groupes et leurs actions ergodiques.

Un premier but est de poursuivre la classification des groupes d'Artin à angles droits à équivalence mesurée près, décrire la classe des groupes mesurablement équivalents à un tel groupe donné, et attaquer la question de leur rigidité en équivalence mesurée intégrable. Au-delà du cas à angles droits, je chercherai à établir des théorèmes de superrigidité, en équivalence mesurée et en quasi-isométrie, pour de nombreux groupes d'Artin (de type hyperbolique, de type FC); ceci nécessitera de décrire les réseaux dans le groupe des automorphismes de leur complexe de Cayley.

Un deuxième objectif est de montrer la proximalité propre de Out(Fn) au sens de Boutonnet, Ioana et Peterson, ce qui donnerait des résultats de rigidité forte pour les algèbres de von Neumann associées à ses actions compactes. Ceci nécessitera de développer un analogue de la théorie de Masur-Minsky pour les groupes modulaires. Ces nouveaux outils aideront par ailleurs à attaquer certaines des questions les plus ambitieuses concernant Out(Fn), comme la conjecture de Farrell-Jones.

Le plus grand défi sera d'explorer l'algèbre de von Neumann L(G), lorsque G est un groupe d'Artin, un groupe modulaire, ou Out(Fn). Je commencerai par la classification des algèbres L(G), lorsque G est un groupe d'Artin à angles droits à groupe d'automorphismes extérieurs fini. Enfin, je tâcherai de démontrer des propriétés structurelles de L(G), comme sa primalité, et, à long terme, sa superrigidité.