Équations de Monge-Ampère singulières – SiGMA

Motivés par la théorie M, la théorie de corde en physique théorique et le programme des modèles minimaux en géométrie algébrique, on étudie
l'espaces de Kähler singuliers et en particulier on se concentre sur les structures spéciales (de nature différentielle) et leur interaction avec l'analyse.

Plus précisément, on cherche des metriques (singulières) kähleriennes speciales avec des jolies propriétés de courbure. Les metriques Kähler-Einstein (KE) ou à courbure scalaire constante (cscK) sont des examples. Le problème de l'existence de cettes métriques peut être réécrit en termes d'une équation de Monge-Ampère (qui est une EDP non-linèaire). Le cas KE a été résolu par Aubin, Yau (en prouvant la conjecture de Calabi), et Chen-Donaldson-Sun (qui ont démontre la conjecture de Yau-Tian-Donaldson); le cas cscK a été récemment établi par Chen-Cheng (qui ont résolu une conjecture de Tian). Mais, ces résultats sont valables que dans une variété kählerienne lisse, et on a besoin de traiter le cas des variétés singulières.

Cela est où et pourquoi la théorie du pluripotentiel entre en jeu : il a été démontré par Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi, Darvas et Lu et moi-même que les méthodes de théorie du pluripotentiel sont très flexibles et ils peuvent être adaptés pour travailler avec des équations de Monge-Ampère (singulières). Chercher une solution d'une équation de ce type qui est lisse en dehors du lieu singulier est équivalent à l'existence d'une metrique singulière KE ou cscK.

Un ingredient crucial est manquant dans la literature : la regularité de ces solutions (faibles). Le coeur de ce projet a comme objectif ce problème, en utilisant des techniques nouvelles qui pourraient être d'aide pour attaquer des problèmes d'analyse complexe et géométrie algébrique.