Moduli de Galois et algèbres de Hecke modulaires – HEGAL

Le but du projet HEGAL est de faire des progrès en deux programmes de recherche et conjectures liées en géométrie arithmétique: la correspondance de Langlands locale mod p et la conjecture de Serre généralisée. La conjecture de Langlands local mod p envisage de relier la théorie des représentations modulaires du groupe de Galois absolu G_F d’un corps p-adique local F/Q_p avec la théorie des représentations modulaires des groupes réductifs p-adiques (comme GL_n(F)). Un premier cas d’une telle correspondance (reliant représentations galoisiennes de dimension 2 de G_{Q_p} aux représentations de GL_2(Q_p)), en fait avec coefficients p-adiques ainsi que coéfficients mod p, a été établi par Colmez-Dospinescu-Paskunas en utilisant les travaux de Breuil, Colmez, Emerton, Kisin, Paskunas et d’autres. Cela a impliqué des applications spectaculaires en arithmétique (par exemple, des nouveaux cas de la conjecture de Fontaine-Mazur par Emerton et Kisin). Malgré des nouveaux résultats partiels, la forme générale de la conjecture est largement ouverte. La conjecture de Serre, dans sa forme originale (démontrée par Khare-Wintenberger), se demande quand une représentation galoisienne globale de G_Q de dimension 2 vient d’une forme modulaire de Hecke (propre et cuspidale) et, dans le cas échéant, précise le poids minimal et le niveau d’une telle forme. Il y a des généralisations de la conjecture aux corps de nombres plus généraux que Q et aux groupes réductifs plus généraux que GL_2, qui ont attirées beaucoup d’attention pendant les deniers dix ans.
Un objet central aux conjectures de Langlands et de Serre est un certain champ de modules galoisiens, récemment introduit dans les travaux d’Emerton-Gee. Il s’agit d’un champ algébrique formel qui, pour un n fixé, paramétrise les représentations galoisiennes p-adiques de dimension n de G_F. Les composants irréductibles du fibre spécial de ce champ peuvent être indiquées par les poids de Serre (les représentations irréductibles modulaires du groupe fini GL_n(F_q), où F_q est le corps résiduel de F), mais la géométrie locale mod p du champ reste mystérieuse. D’un côté, le champ d’Emerton-Gee est attendu d’être le choix correct pour les L-paramètres du côté galoisien d’une correspondance de Langlands hypothétique. De l’autre côté, le champ offre une géométrisation extrêmement utile de la généralisation de la partie poids (au sens de Herzig et Gee-Herzig-Savitt) dans la conjecture de Serre. Il est généralement attendu qu’une compréhension détaillée de la géométrie locale mod p du champ d’Emerton-Gee pourrait impliquer un break through dans ces deux conjectures en arithmétique.
L’objective concret du projet HEGAL est d’analyser la géométrie mod p du champ d’Emerton-Gee. La nouveauté principale d’HEGAL est l’usage des algèbres de Hecke modulaires (par exemple, des algèbres d’Iwahori-Hecke, des algèbres dérivées d’Hecke (DGA) ou des opérateurs U_p modulaires) pour décrire des modèles locaux des certaines parties du champ (liées à la théorie de Hodge p-adique) ou de produire des morphismes de comparaison avec des objets familiers venant de la théorie géométrique des représentations (les monoïdes de Vinberg, des paramètres de Satake, les fibres de Springer etc.). Ces morphismes de comparaison permettent à construire fonctoriellement certains classes de (ou des complexes de) faisceaux intéressants sur le champ dont leurs invariants (support, cohomologie etc.) contiennent de l’information arithmétique intéressant.
Les outils et méthodes nécessaires appartenant à l’algèbre ou à la théorie géométrique des représentations vont en partie être développés au sein du projet HEGAL et peuvent avoir des applications potentielles dans différents domaines en arithmétique, comme dans l’étude des formes automorphes, dans la théorie d’Iwasawa ou dans l’étude des variétés de Shimura.