Bipotentiels généralisés pour le principe variationnel de Brezis-Ekeland-Nayroles en mécanique – BigBen

Notre objectif est de développer des méthodes variationnelles innovantes pour relever les défis posés aujourd'hui en calcul des structures dans le domaine des couplages et interactions entre des phénomènes tels que la plasticité, le contact frottant, la mécanique de la rupture, l'endommagement, la dynamique.
Défi 1: la prise en compte dans la fonctionnelle des lois de comportements dites non associées dont les plus connues sont la loi de contact unilatéral avec frottement de Coulomb et de nombreuses lois de géomatériaux.
Défi 2: la construction d'approches variationnelles pour simuler l'évolution des structures en présence de comportements dissipatifs autrement que par les approches pas-à-pas ou incrémentales classiques, afin de contrôler globalement le calcul de l'histoire du chargement.
Notre ambition est de prendre en compte simultanément ces deux défis.

Les lois non associées ne peuvent pas être représentées par un potentiel convexe. Par contre, nous avons montré que nombre d'entre elles peuvent l'être grâce à un bipotentiel, une fonction de 2 variables duales, bi-convexe. L’approche du bipotentiel conduit à une vaste généralisation du calcul variationnel. Le principe de Brezis-Ekeland-Nayroles est un principe variationnel d’espace-temps non-incrémental. Nous l'avons étendu à la dynamique en introduisant le concept de sous-différentiel symplectique.

L'approche proposée consiste à étendre ce principe aux matériaux à bipotentiel. L'objectif est de développer les outils de simulation numérique qui en découlent. Les applications-cibles sont l'analyse d'interactions telles que la plasticité cyclique des métaux, la plasticité des polycristaux et des géomatériaux, ainsi que l’endommagement et les phénomènes de rupture par croissance de fissures dont les lèvres frottent et glissent entre elles.