CE40 - Mathématiques

Géométrie et Analyse dans le cadre Pseudo-Riemannien – GAPR

Résumé de soumission

L’étude des (G,X)-structures sur les variétés, entreprise au cours de la seconde moitié du 20e siècle entre autres par Ehresmann et Thurston, trouve son inspiration dans le célèbre programme d’Erlangen de 1872, par lequel Klein promut l’étude des géométries à travers leurs groupes de symétries. Parmi les différentes (G,X)-structures qui sont intervenues dans la résolution de la conjecture de géométrisation, les plus riches et intrigantes sont sans doute les structures hyperboliques. De nombreux travaux récents ont suscité un intérêt pour diverses généralisations de ces structures hyperboliques à des cadres non riemanniens, parmi lesquels on peut citer les structures pseudo-hyperboliques et les structures projectives réelles.

Ce projet vise à développer des méthodes analytiques en topologie géométrique, afin de les appliquer aux structures (pseudo)-hyperboliques. Deux grands axes seront explorés. Le premier concerne l’utilisation de flots géométriques en géométrie pseudo-riemannienne. Nous pensons que de tels flots, comme celui de la courbure moyenne, fourniront un outil puissant pour l’étude des structures géométriques, et devraient permettre une résolution de la conjecture d'Andrews sur les 3-variétés presque fuchsiennes. Le second repose sur des estimées à priori de courbure. Nous souhaitons relier certaines quantités géométriques (comme la courbure) de sous-variétés spéciales (comme les surfaces maximales ou à courbure moyenne constante) à leur comportement asymptotique dans l’espace pseudo-hyperbolique. De telles estimées auront des applications remarquables en théorie géométrique des fonctions et en théorie de Teichmüller.

Au-delà des résultats nouveaux attendus, ce projet vise à mettre en valeur les nombreuses possibilités encore inexplorées que les méthodes analytiques peuvent apporter à l’étude des (G,X)-structures, et pourrait donc avoir un impact à long terme sur les communautés de chercheurs en géométrie topologique et en analyse géométrique.

Coordinateur du projet

Monsieur Andrea Seppi (Institut Fourier)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IF Institut Fourier

Aide de l'ANR 175 900 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2022 - 48 Mois

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