Processus gaussiens pour la simulation numérique et l'apprentissage : garanties supplémentaires et spectre d'applications étendu – GAP

Les processus gaussiens fournissent des a priori bayésiens fonctionnels et des outils de quantification d’incertitudes cruciaux. Ils sont très employés dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques, parmi lesquels la géostatistique, la simulation numérique et l’apprentissage.

Le projet GAP vise à dépasser deux limitations majeures des processus gaussiens.

(1) Les développements algorithmiques des processus gaussiens sont à un stade plus avancé que leurs développements théoriques associés.

(2) Les processus gaussiens ne sont pas suffisamment exploités en dehors de taches classiques en statistique et en apprentissage, ce qui constitue une perte d’opportunité.

Ces deux limitations seront traitées par une équipe composée d’experts en statistique mathématique et numérique, mathématiques appliquées et apprentissage. En combinant des techniques issues de la statistique asymptotique, des probabilités et de l’analyse fonctionnelle, ainsi que des développements méthodologiques et numériques, les quatre axes de recherche suivants seront poursuivis. Les axes (1) et (2) ci-dessous sont plus théoriques, tandis que les axes (3) et (4) visent aussi des applications sur données réelles, par exemple pour la simulation numérique, la biologie, la médecine et la finance.

(1) Des vitesses de concentration de loi a posteriori seront obtenues pour plusieurs modèles de processus gaussiens profonds. Cela fournira les premières garanties mathématiques pour une classe riche de modèles bayésiens, qui offrent notamment une solution aux problèmes de stationnarité des processus gaussiens classiques.

(2) Des bornes d’erreur seront obtenues, portant sur des approximations adaptées aux grandes masses de données, plus précisément les points induisants et l’inférence variationnelle. Ces bornes porteront sur des cadres non explorés: les observations exactes et la classification.

(3) Les processus gaussiens contraints seront étendus en grande dimension, à partir de processus gaussiens additifs et de sélection de variables. Cela fournira les premiers modèles de processus gaussiens contraints en grande dimension satisfaisant les contraintes sur l’intégralité de leur espace d’entrées.

(4) Deux nouvelles applications des processus gaussiens seront fournies. D’abord, des procédures de séparation de source seront obtenues, avec des garanties théoriques, dans le cadre asymptotique par remplissage. Ensuite, les processus gaussiens permettront d’effectuer une inférence statistique valide, post-sélection de région. Pour cette deuxième application, une interface graphique à destination des praticiens sera implémentée.