Trous noirs BPS, cordes topologiques et invariants de Donaldson-Thomas – TopStringDT

Les variétés Calabi-Yau, terme technique pour désigner les espaces de dimension 6 utilisés comme dimensions internes pour les compactifications des théories des cordes, ont une typologie très riche, et les invariants de Donaldson-Thomas associés, pertinents pour l’entropie des trous noirs en dimension 4, sont très difficiles à calculer en général. Les invariants de Gromov-Witten, qui jouent un role analogue pour les trous noirs en dimension 5, sont plus facilement calculables, grâce notamment à la symétrie miroir entre paires de variétés Calabi-Yau. Ils sont controlés par la théorie des cordes topologiques, une version simplifiée des supercordes originales. Les deux types d’invariants sont reliés par des formules dites de ’wall-crossing’, interprétées physiquement en terme de formation ou dissolution d’états liés de trous noirs. De plus, les symétries de dualité des théories des cordes prédisent des relations subtiles entre ces invariants, appelées relations de modularité, qui relèvent de la théorie des nombres. Dans le cas des variétés Calabi-Yau non compactes, dites toriques, la théorie des representations fournit une approche alternative au calcul des invariants de Donalson-Thomas; ceux-ci ne sont plus directement liés aux micro-états de trous noirs (car la gravité est découplée) mais ils continuent le nombre de monopoles ou dyons supersymétriques.

Exploitant ces liens entre physique et mathématique, avec l’aide de nos étudiants en thèse et postdoctoraux et en collaboration avec des collègues physiciens et mathématiciens d’autres pays, nous avons pu pour la première fois calculer des familles infinies d’invariants de Donaldson-Thomas pour des variétés Calabi-Yau compactes à faible nombre de paramètres, dont l’exemple paradigmatique de la variété quintique, et vérifier les propriétés modulaires prédites par la physique. Nous avons étendu le calcul des invariants de Gromov-Witten au-delà des limites pré-existantes, et ouvert une fenêtre sur le régime non-perturbatif de la théorie des cordes topologiques.

Ces résultats ouvrent de nouvelles perspectives sur les aspects mathématiques des théories de cordes (beaucoup moins coûteux à explorer que leurs conséquences phénomènologiques) et suggèrent de nouvelles connections entre différents domaines de la physique et des mathématiques. En particulier, la relation directe que nous avons mis en lumière, entre invariants de Donaldson-Thomas comptant les états BPS d’un côté, et les coefficients de Stokes controlant les singularités des amplitudes topologiques dans le plan de Borel, est un pas majeur dans la compréhension des effets non-perturbatifs en théorie des cordes et des champs.

L'origine microscopique de l'entropie des trous noirs est une question centrale pour toute théorie quantique de la gravité. La théorie des cordes a franchi cette étape il y a 25 ans, avec la première description quantitative des micro-états des trous noirs supersymétriques (dits BPS) en termes d'états liés de solitons étendus (les D-branes) enroulés autour de sous-variétés minimales dans l'espace de compactification interne. L'accord quantitatif spectaculaire entre le (logarithme du) nombre de micro-états et l'entropie de Bekenstein-Hawking a suscité un dialogue extrêmement fructueux entre physiciens des hautes énergies et mathématiciens. Cependant, le comptage exact des micro-états des trous noirs du BPS n'a été obtenu à ce jour que dans le cas des compactifications avec supersymétrie maximale ou demi-maximale. L'objectif principal de ce projet est d'effectuer un comptage exact dans le cas beaucoup plus difficile des compactifications avec supersymétrie N=2, qui est le minimum requis pour l'existence même des états BPS, et ainsi bâtir de nouveaux ponts entre la physique et les mathématiques.

Les modèles avec supersymétrie N=2 en quatre dimensions s'obtiennent principalement en compactifiant les supercordes de type IIA sur une variété de Calabi-Yau (CY3) X. Les trous noirs BPS proviennent alors des états liés de D0-branes, de D2-branes enroulées sur des courbes, de D4-branes enroulées sur des diviseurs et de D6-branes enroulées sur X. En termes mathématiques, ils correspondent à des objets stables dans la catégorie dérivée des faisceaux cohérents D (X), et sont comptabilisés par les invariants généralisés de Donaldson-Thomas (DT) associés à cette catégorie. Les invariants DT dépendent fortement des modules de Kähler de X, et sont discontinus au travers de certains murs dans l'espace des modules, en raison de l'apparition ou disparition d'états liés de trous noirs multicentrés. Heureusement, il existe des choix distingués des modules où le problème se simplifie. Au point d'attracteur, la plupart des états liés sont absents et le calcul de l'indice d'attracteur devient plus tractable. Une fois les invariants d'attracteur déterminés, les invariants DT pour tout autres modules peuvent être déduits grâce à la formule dites des arbres d'attracteur. Au point de grand volume, les invariants DT sont reliés à la fonction de partition des cordes topologiques, pour laquelle de nombreuses techniques de calculs ont été développées.

L'objectif principal de ce projet sera d'obtenir des résultats explicites et des propriétés structurelles des invariants généralisés de Donaldson-Thomas et des fonctions de partition des cordes topologiques sur les variétés CY3, à la fois dans les cas compact et non compact. Dans le premier cas, on s'appuiera sur l'équivalence entre la catégorie faisceaux cohérents D(X) et la catégorie D(Q,W) des représentations des carquois avec potentiel, ce qui permet de ramener le calcul des invariants DT à un problème de théorie des représentation, lié à la combinatoire des cristaux. Dans ce contexte, nous viserons à prouver la "conjecture des invariants d'attracteur", formulée très récemment par le coordinateur et ses collaborateurs, qui prédit une structure très simple pour les invariants associés à des CY3 toriques. Nous démontrerons également les propriétés faussement modulaires des séries génératrices de ces invariants, en construisant une algèbre d'opérateurs de vertex agissant sur la cohomologie de l'espace des modules des représentations de carquois. Dans le cas compact, nous étudierons la relation entre la fonction de partition des cordes topologiques et le spectre BPS à d'autres points spéciaux dans l'espace des modules tels que les points K et les points d'attracteur de rang deux, et nous calculerons les invariants d'attracteur pour des familles de CY3 à un paramètre, en exploitant les propriétés modulaires et les dualités entre théories des cordes.