Modèles FRACtals et analyse en ondeLETTES pour la caractérisation des états de surfaces – FRACLETTES

Notre démarche est centrée sur un modèle déterministe (non aléatoire), basé sur la géométrie fractale, qui offre l’opportunité de générer une variété exhaustive et riche de géométries rugueuses. Un corpus (base de données numérique de plus de 40 000 courbes et surfaces) a ainsi pu rapidement être constitué, agrémenté d’une interface pour l’interroger. La caractérisation géométrique (à travers l’usage conjoint des analyses multi-fractale et en ondelettes) et l’étude des propriétés différentielles (variations géométriques) des rugosités générées par ce modèle, sont au cœur de notre démarche. Via l’étude de la nature différentielle des courbes et surfaces rugueuses à disposition, nous avons défini différents types de rugosités, qu’il est possible de contrôler à l’aide de contraintes imposées au modèle. Son aspect déterministe est fondamental dans cette étude, pour garantir la dépendance continue entre ses paramètres et les propriétés différentielles. Cela apparaît essentiel pour pouvoir formaliser et étudier rigoureusement ces propriétés, afin de proposer par la suite, des algorithmes adaptés à l’optimisation des surfaces rugueuses (notamment pour les cas d’études cités précédemment).

Un prototype d’application web a été initié pour stocker, visualiser et naviguer dans le corpus de formes rugueuses générées. L’intégration de nos résultats théoriques sous forme de fonctionnalités utilisables est actuellement en cours de finalisation, pour envisager la mise à disposition du corpus à la communauté scientifique. Cela offrirait des moyens d’étudier l’impact des phénomènes mentionnés précédemment sur différentes natures de rugosités. Un suivi des utilisateurs, sous forme de profilage (en fonction du métier et des critères d’interrogation), a été mis en place pour envisager un système de recommandations.
Notre approche, principalement théorique, a été valorisée par 2 articles dans des conférences internationales. Un autre est actuellement en cours de finalisation, à destination d’une revue internationale. Le projet et ses résultats ont également été présentés à au moins un des deux événements nationaux annuels propres à notre communauté (7 présentations depuis 2020). Pour promouvoir les possibilités d’exploitation et faire connaître au grand public notre modèle et certaines des méthodes considérées, nous avons participé à plusieurs fêtes de la science et proposé un article dans la revue « The Conversation ».

Dans ce projet, nous nous sommes principalement concentrés sur les aspects théoriques du contrôle et de la caractérisation géométriques de la rugosité. Le formalisme que nous avons développé à partir des DCFs ouvre des perspectives à la fois théoriques et pratiques.
Du point vue théorique, les DCFs peuvent être considérées comme une généralisation des développements limités à exposants non-entiers, traduisant le comportement local des courbes et surfaces rugueuses. Elles sont alors des éléments centraux pour caractériser les propriétés différentielles. Il nous reste encore à établir les relations entre notre approche et les méthodes classiques de caractérisation de l’irrégularité (coefficient de Hölder et spectre de singularité), pour mieux comprendre et exploiter nos résultats. Les DCFs étant directement définies à partir des paramètres des transformations (valeurs et vecteurs propres) associées à notre modèle, il sera alors envisageable de proposer des outils de contrôle de ces caractéristiques d’irrégularité.
Au travers de ces DCFs, l’étude de la rugosité peut être abordée avec deux points de vue complémentaires : l’aspect géométrique et l’aspect spectral. L’exploration de ce dernier aspect nous laisse envisager de possibles relations avec les quantificateurs statistiques classiques de la rugosité (Sa, Sq, distribution des pentes/normales, …), ouvrant davantage de possibilités de contrôle.
Ces travaux théoriques vont se poursuivre dans le cadre du projet région FractOs (démarré en sept. 2024 et portant sur la conception d’implants fractals pour l’ostéogenèse, en collaboration avec le laboratoire CERAMATHS de Valenciennes). Des structures fractales à porosité multi-échelle et dont la rugosité de surface doit favoriser l’accroche et donc la colonisation de l’implant par les cellules osseuses, sont déjà à l’étude. Leur fabrication, à l’aide d’imprimantes 3D ayant des résolutions de l’ordre de la centaine de nanomètres, est prévue. Des perspectives de collaborations étendues sont également envisagées (projet ANR PRC soumis et actuellement en phase 2).
Grâce à la communication établie autour de nos travaux, une autre collaboration (avec les universités de Strasbourg, Sherbrooke et Poitiers) a également été initiée. Celle-ci a donné lieu à une soumission au dernier AAP ANR PRC (non retenu en phase 2). Elle porte sur l’exploitation des nouvelles possibilités offertes par notre modèle pour la simulation d’interactions lumineuses réalistes, dans des scènes virtuelles. Une re-soumission est prévue à l’automne prochain.
Enfin, d’un point de vue pratique, la mise à disposition gratuite du corpus aux chercheurs, ingénieurs et industriels de différentes disciplines et domaines d’applications, est un élément clé de la valorisation de ce projet.

- L. Druoton, C. Roudet, C. Gentil. “A general method for roughness characterization of non-regularly sampled data using wavelets on graphs.” Soumission en cours à une revue internationale.
- C. Poull, C. Gentil, C. Roudet, L. Druoton, M. Roy. Second Order Differential Properties of Tensor Product Fractal Surfaces. 20th International Conference on Computer Graphics Theory and Applications, Feb. 2025, Porto, Portugal.
- C. Poull, C. Gentil, C. Roudet, L. Druoton, M Roy. Differential properties of rough fractal surfaces. JFIG (Journées Françaises de l'Informatique Graphique), Oct. 2024, Strasbourg, France.
- L. Druoton, C. Roudet, C. Gentil. “Détection et caractérisation de singularités de signaux par analyse en ondelettes sur graphe.” In Journées du Groupe de Travail en Modélisation Géométrique (R-GTMG), Marseille, Mars 2024.
- M. Janbein, C. Gentil, C. Roudet, C. Poull. Pseudo-Curvature of Fractal Curves for Geometric Control of Roughness. 19th International Conference on Computer Graphics Theory and Applications, Feb 2024, Rome, Italy. pp.177-188.
- C. Poull, C. Gentil, C. Roudet, M. Roy. Méthodes de contrôle de la rugosité à partir des propriétés différentiels de courbes autosimilaires.. Journées du Groupe de Travail en Modélisation Géométrique (GTMG), Mars 2023, Strasbourg, France.
- C. Poull, M. Janbein, L. Druoton, C. Roudet, S. Lanquetin, M. Roy, C. Gentil. La rugosité des surfaces et ses applications. Journées Françaises d'Informatique Graphique (JFIG), Bordeaux, Nov. 2022
- C. Poull, M. Janbein, C. Gentil. Conception de formes bio-inspirées pour l'économie d'énergie. Fête de la Science – Village des sciences de Dijon, 17 et 18 Oct. 2022.
- C. Roudet et M. Roy. Images de science : Ces « ondelettes » qui se cachent derrière la 3D, Revue en ligne « The Conversation », 14 Dec. 2021.

Le domaine dans lequel s’inscrit ce projet est la modélisation géométrique pour la Conception Géométrique Assistée par Ordinateur (CGAO) et la simulation numérique. Nous proposons d’aborder la problématique de la représentation numérique, de l’analyse et de la caractérisation de surfaces rugueuses pour la simulation numérique.
La rugosité est un concept complexe, par nature multi-échelle et reposant sur l’étude du comportement local d’une surface dans un voisinage donné. Son évaluation sur les surfaces est essentielle pour de nombreux problèmes expérimentaux. Cela explique les nombreuses études réalisées dans les domaines applicatifs liés à la physique et la mécanique, là où le contrôle et la maîtrise de l’état des surfaces constituent un besoin majeur pour les industriels.
Un grand nombre de paramètres conventionnels normalisés sont actuellement à disposition pour tenter d’apprécier cette notion dans les différents domaines applicatifs qui en font usage. Mais il est souvent difficile, pour un domaine applicatif ou un besoin donné, de savoir précisément quel(s) paramètre(s) de rugosité relie(nt) la topographie d’une surface aux phénomènes physiques qu’elle subit ou qu’on lui applique. Cela s’explique car, à une valeur de paramètre donnée peuvent correspondre des rugosités associées à des géométries et des propriétés physiques très variées. Ceci est principalement dû au fait que les mesures de rugosité classiques reposent, pour la plupart, sur des quantifications statistiques globales. La caractérisation géométrique que nous proposons a pour objectif de pallier cet inconvénient majeur. Elle nous paraît essentielle pour établir plus facilement des relations avec les propriétés physiques des surfaces. Néanmoins, nous n’abordons pas l’étude de l’impact de la rugosité sur les propriétés physiques, qui est très spécifique à chaque domaine.
L’objectif de ce projet est double :
1) Théorique : modéliser la rugosité et définir des outils de manipulation, de composition, d’analyse et de caractérisation géométrique. Nous proposons pour cela de nous appuyer sur une approche générique exploitant l’analyse en ondelettes et la synthèse de rugosités à partir de modèles fractals déterministes. Nous pensons que le modèle fractal BC-IFS (mis au point dans notre équipe) nous permettra de définir cette caractérisation géométrique à partir des propriétés différentielles que l’on peut définir sur ces surfaces.
2) Pratique : générer un corpus (base de données numérique) de modèles géométriques rugueux sous différentes formes, de façon à ce que chaque utilisateur y retrouve les modèles qu’il a l’habitude de manipuler. Il servira d’abord à maîtriser la notion de rugosité. Dans un second temps, nous prévoyons de le mettre à disposition des chercheurs, ingénieurs ou industriels (de différentes disciplines et domaines d’applications). Ils pourront notamment l’utiliser afin de réaliser des simulations numériques ou évaluer l’impact de différentes natures de rugosités sur les propriétés physiques d’un objet.
Malgré la richesse des rugosités générées par les modèles fractals déterministes, cela ne sera certainement pas suffisant pour représenter toutes les variétés que l’on peut rencontrer dans la réalité. Cependant, ces modèles rugueux pourraient servir de base de référence pour générer de nouvelles familles de rugosités, à partir d’opérateurs de combinaison (addition, multiplication, dilatation, réduction, décalage, ...).