Symétries et espaces de modules en géométrie algébrique et physique – SMAGP

Le projet "Symétries et espaces de modules en géométrie algébrique et physique" (SMAGP) est un projet de recherche interdisciplinaire entre la géométrie algébrique, la théorie des formes automorphes et la physique théorique. L'objectif principal du projet est la description des propriétés géométriques, algébriques et arithmétiques des espaces de modules d'objets géométriques ou physiques liés par la présence de même type de symétrie. Notre étude passera par la découverte de symétries cachées et par l'exploitation de l'interaction entre la géométrie et la physique. Les symétries peuvent se manifester de différentes manières. Il peut s'agir d'un groupe d'automorphismes d'une variété préservant une certaine structure, par exemple, un groupe d'automorphismes symplectiques, ou le groupe de monodromie d'un espace de modules, ou le groupe des symétries d'un système intégrable. En physique théoriques, il peut s'agir, par exemple du groupe de transformations d'une fonction de partition dans une théorie quantique des champs. Tous ces groupes apparaissent dans la théorie des formes automorphes comme groupes modulaires ou paraboliques, ou comme leurs sous-groupes d'indice fini, bien que la preuve d'une telle réalisation puisse être totalement non triviale.

Le projet comprend trois classes d'objets issus des trois domaines susmentionnés: (a) variétés spéciales à des symétries prescrites en géométrie algébrique, (b) réseaux indéfinis et formes automorphes associées, et (c) théories quantiques des champs, cordes, systèmes intégrables et intégrales de Feynman en physique.

Les trois domaines sont interconnectées de plusieurs manières. Premièrement, les espaces de modules d'objets en (a) et (c) sont en même temps des quotients arithmétiques associés à des réseaux indéfinis en (b). Deuxièmement, les objets les plus intéressants de (c) sont construits à l'aide de la géométrie algébrique - en tant que variétés algébriques avec des structures supplémentaires. Troisièmement, les symétries entre les objets physiques de (c) se traduisent par des correspondances entre les espaces de modules de (b) ou par des automorphismes spéciaux agissant sur des variétés algébriques de (a). Une manifestation spectaculaire de cette correspondance est la symétrie miroir.

Les variétés concernées en (a) comprennent les surfaces K3, abeliennes, d'Enriques ou de Del Pezzo, les espaces de modules de faisceaux, ainsi que les variétés hyperkähleriennes, irréductibles symplectiques, variétés de Calabi–Yau et de Fano. Les espaces de modules associés à ces variétés sont des quotients arithmétiques de la boule complexe ou de domaines symétriques de Siegel. Certains de ces quotients sont des espaces de modules de théories quantiques de champs ou des espaces des paramètres de certains types de systèmes intégrables. D'autres qui n'ont toujours pas d'interprétation claire comme espaces de modules peuvent être considérés comme attendant la découverte d'une telle interprétation. Cela justifie l'intérêt que suscitent de tels quotients.

Les formes automorphes apparaissent également dans la description des amplitudes de diffusion de cordes, ce qui les relie avec l'outil classique d'étude des amplitudes de diffusion, les intégrales de Feynman. Du point de vue de la géométrie algébrique, les intégrales de Feynman sont des périodes de variétés algébriques avec des propriétés géométriques, algébriques et arithmétiques très riches que l'on étudie avec des outils très divers comme formes automorphes, variations de structures de Hodge mixtes et la théorie des motifs.

Le projet SMAGP vise à concentrer les efforts de chercheurs ayant des perspectives différentes sur ces objets à l'interface des trois domaines - géométrie algébrique, formes automorphes et physique théorique - ce qui ouvrira de nouvelles voies de recherche et de nouveaux points de vue. La recherche proposée aura un impact fondamental et débouchera sur des progrès significatifs dans ce domaine interdisciplinaire.