CE40 - Mathématiques

Régularité critique, interfaces, interactions multi-échelle et singularités dans la dynamique des fluides inhomogènes – CRISIS

Résumé de soumission

Le but du projet CRISIS est de jeter des bases mathématiques rigoureuses à la description des effets d'hétérogénéité, des comportements singuliers et des processus multi-échelles qui apparaissent et interagissent dans plusieurs phénomènes de la vie réelle en lien avec la mécanique des fluides, comme les écoulements géophysiques ou les mouvements collectifs.
Les hétérogéneités sont omniprésentes dans la nature: elles peuvent résulter dans des phénomènes complexes, suite à l’interaction entre différents mécanismes physiques (variations de densité et température, action d'un champs magnétique), ou au bord du domaine d'étude, où les interactions avec l’extérieur ont lieu. Par ailleurs, et ceci est au coeur du projet CRISIS, ces phénomènes d’hétérogénéités sont intimement liés à l'apparition de structures singulières. Ici, le terme "singulier" doit s’entendre au sens mathématique d’une perte de régularité, dûe typiquement à des effets de fortes concentration et/ou à des oscillations rapides, qui peuvent impliquer le tourbillon du fluide (ex: typhons), sa densité (comme dans les mélanges, les phénomènes de saturation), ou les défauts dans les fluides complexes (ex: cristaux liquides). Dans tous ces exemples, certaines quantités sont localisées dans une région donnée de l’espace et subissent une discontinuité à l'interface. Si dans de nombreuses situations physiques l'interface est tout simplement transportée par le flot, dans certains cas d'intérêt (au sein par exemple des mouvements de foule ou des milieux granulaires) elle présente une frontière libre, avec des échanges de masse entre les deux régions séparées par l'interface. En vue des applications physiques, il est crucial de pouvoir décrire qualitativement la dynamique de cette interface; toutefois, les difficultés mathématiques sont profondes et complexes, car cela demande d'aller au-delà de la théorie classique du caractère bien posé pour les EDP non-linéaires.
Une autre remarque fondamentale à la base du project CRISIS est que des hétérogénéités peuvent apparaître aussi dans des processus multi-échelles, suite à l'interaction de plusieurs mécanismes qui contribuent à la dynamique moyenne en agissant à des échelles différentes (en temps et/ou en espace). Du point de vue physique, l'intensité respective de chacun de ces mécanismes se détermine par une analyse dimensionnelle, en introduisant un certain nombre de paramètres adimensionnels, qui peuvent être très grands ou très petits selon le régime spécifique considéré. L'approche habituelle pour obtenir des modèles réduits consiste à calculer un développement asymptotique par rapport à ces paramètres et à garder seulement les termes d'ordre le plus élévé dans les équations; néanmoins, cette démarche est purement formelle. En revanche, la justification rigoureuse de ces approximations engendre plusieurs difficultés au niveau mathématique: d'une part parce qu'on est amené à étudier des problèmes de perturbation singulière; d'autre part parce qu'il est souvent nécessaire de développer de nouveaux outils mathématiques afin de capturer, au niveau du modèle réduit, les échelles multiples qui interagissent.

Dans le contexte décrit ci-dessus, les principaux buts du projet CRISIS sont:
(G1) apporter une meilleure compréhension des effets dûs aux hétérogénéités dans le mouvement d'un fluide;
(G2) améliorer la description de la dynamique des interfaces;
(G3) progresser dans le compréhension du rôle du bord;
(G4) justifier de façon rigoureuse l’obtention de modèles réduits pour des écoulements faisant intervenir des échelles multiples.

Le plan de recherche proposé porte sur plusieurs aspects de la théorie mathématique des fluides inhomogènes, et se compose de trois grands programmes de travail (WP):
(WP1) l'étude de systèmes de fluides inhomogènes dans un cadre à régularité faible/critique;
(WP2) l'analyse de certains problèmes à frontière libre;
(WP3) l'étude de limites singulières dans le contexte des écoulements géophysiques.

Coordination du projet

Francesco Fanelli (Institut Camille Jordan)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

ICJ Institut Camille Jordan

Aide de l'ANR 167 875 euros
Début et durée du projet scientifique : janvier 2021 - 48 Mois

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