CE40 - Mathématiques

Processus de branchement non-locaux – NOLO

Résumé de soumission

Nous étudions le comportement asymptotique de processus de branchements en dimension infinie. Ces processus sont des systèmes de particules où les particules évoluent indépendamment selon un processus de Markov. Au temps de branchement, une particule est remplacée par un nombre aléatoire de nouvelles particules. Les temps de branchement, le nombre de descendantes et leurs traits dépendent de leur ancêtre.

Nous nous concentrons sur les branchements non-locaux: le trait à la naissance est distribué selon un noyau markovien. Cela inclut la division cellulaire et des modèles d'évolution. Plus précisément, nous étudions

1) des modèles de croissance-fragmentation: la taille des cellules croit exponentiellement et les cellules se divisent en deux nouvelles cellules à des temps dépendant de la taille;
2) des modèles d'évolution de phénotypes: les individus possèdent un trait qu'ils transmettent à leurs descendants à une petite variation près.

Ces modèles reposent sur des opérateurs non auto-adjoints, ce qui rend leur étude bien plus difficile que les modèles de diffusions branchantes. Nous allons développer de nouvelles approches pour démontrer des résultats de type loi des grands nombres via des idées venant de l'analyse fonctionnelle, des EDP, et des probabilités ainsi que de déduire de ces résultats, de nouveaux estimateurs statistiques.

Le projet est structuré autour de 3 challenges.

Le premier est basé sur la théorie des équations aux dérivées partielles (EDP). Le but est de développer de nouveaux outils, proche des théorèmes de Krein-Rutman ou des méthodes d'entropie, pour étudier le comportement en temps long d'EDP d'évolution linéaires mais non-locales.

Le second challenge est basé sur le calcul stochastique. Le but est d'établir des loi des grands nombres et des théorèmes central limite pour les modèles de particules en question.

Enfin, le dernier challenger est plus proche des applications. Il a pour but de confronter les résultats théoriques du projet à des cas concrets. En particulier, de nouveaux outils statistiques seront développés pour estimer les divers paramètres de ces modèles.

Coordination du projet

Bertrand Cloez (Mathématiques, Informatique et Statistique pour l'Environnement et l'Agronomie)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

MISTEA Mathématiques, Informatique et Statistique pour l'Environnement et l'Agronomie

Aide de l'ANR 156 029 euros
Début et durée du projet scientifique : janvier 2021 - 48 Mois

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