Trisections et structures symplectiques des variétés lisses de dimension 4 & Généralisations aux dimensions supérieures – SyTriQ

Ce projet concerne la topologie géométrique, plus précisément l'étude des variétés lisses de dimension 4 et plus. À partir de la théorie des trisections des variétés lisses de dimension 4, récemment introduite par Gay et Kirby, le projet étudie la relation entre cette théorie et la géométrie symplectique, ainsi que les généralisations possibles pour les variétés de dimension supérieure.

Un scindement de Heegaard est une décomposition d'une variété compacte de dimension 3 en deux corps-en-anses, une notion clé dans l'étude de ces variétés. Gay et Kirby ont développé une construction analogue pour les variétés compactes lisses de dimension 4 : ils définissent une trisection d'une telle variété comme une décomposition en trois corps-en-anses de dimension 4. Notre premier objectif est d'étudier le lien entre trisections et structures symplectiques. La motivation provient des structures induites sur le bord de la variété : une trisection induit une décomposition en livre ouvert, une structure symplectique induit une structure de contact, et la correspondance de Giroux établit un lien profond entre livres ouverts et structures de contact. Notre second objectif est de généraliser la théorie des trisections aux dimensions supérieures, en étudiant dans un premier temps une notion de quadrisection pour les variétés compactes lisses de dimension 5.