Systèmes de diffusion croisée sur des domaines en mouvement – COMODO

Quatre tâches principales sont identifiées pour aborder ce problème: 1) identifier des modèles adaptés pour l'évolution des fractions volumiques des différentes espèces chimiques à l'intérieur et à la surface du film. Ces modèles s'écriront comme des systèmes de diffusion croisée définis sur un domaine à frontière mobile, prenant en compte les phénomènes de diffusion croisée surfaciques; 2) développer des schémas numériques pour la simulation de tels systèmes, qui devront respecter leurs propriétés mathématiques; 3) paralléliser les schémas numériques obtenus, en utilisant des méthodes de décomposition de domaines espace-temps et des algorithmes pararéels; 4) construire des modèles réduits précis et efficaces, qui seront utilisés pour la calibration des paramètres intervenant dans le modèle avec des données expérimentales et pour l'optimisation du procédé PVD.

WP1 : Avec Jan-Frederik Pietschmann et Greta Marino (TU Chemnitz), nous avons analysé un modèle de diffusion croisée de type Cahn-Hilliard qui peut être vu comme une modèle d'interface diffuse pour des systèmes de diffusion croisée sur des domaines mobiles.
WP2 : Clément Cancès et Benoît Gaudeul (Université de Lille) ont développé un schéma de volumes finis qui préserve la structure entropique du modèle étudié par Athmane Bakhta et Virginie Ehrlacher sur des domaines fixes.
Durant le stage de Nicolas Podvin, ce schéma numérique a été étendu pour traiter un modèle uni-dimensionnel sur un domaine mobile. Ce scéma a aussi été étendu dans un travail joint avec Clément Cancès et Laurent Monasse pour simuler un autre modèle de type diffusion croisée (le modèle de Maxwell-Stefan), utilisé principalement pour des applications biomédicales. Récemment, Ansgar Jüngel et Antoine Zurek ont étendu cette classe de schéma pour la résolution de systèmes de diffusion croisée sur domaines fixes plus généraux. .

WP4 : Un travail commun avec Olga Mula (Université Paris-Dauphine), Damiano Lombardi (INRIA Paris) et François-Xavier Vialard (Université Gustave Eiffel) sur l'intérêt d'utiliser des barycentres de Wasserstein poyur la réduction de problèmes de transport paramétriques conservatifs a été réalisé. C'est important pour le projet car le modèle de diffusion croisée 1D défini sur domaine mobile peut être reformulé sur un domaine fixe avec un terme de transport supplémentaire qui a une influence considérable sur l'évolution des solutions.
Autre : En parallèle, j'explore des méthodes numériques pour pouvoir coupler des modèles atomiques microscopiques avec ces systèmes de diffusion croisée macroscopiques. Un travail commun avec Pierre Monmarché (Sorbonne Université) et Tony Lelièvre,a été réalisé sur l'utilisation de méthodes de tenseurs pour accélérer des calculs en dynamique moléculaire.

WP1: Nous travaillons actuellement avec Jan-Frederik Pietschmann, Greta Marino et Jean Cauvni-Vila sur l'étude de la limite du système Cahn-Hilliard de diffusion croisée qui a été étudié précdemment. Nous travaillons également sur le développement de schémas numériques de type volumes finis pour discrtéiser ce modèle.
Avec Jean Cauvin-Vila et Amaury Hayat (Ecole des Ponts), nous étudions le problème de contrôle des flux sur le modèle uni-dimensionnel. Nous avons obtenu des résultats de stabilisation très intéressants sur une version linéarisée du modèle en utilisant une méthode développée par Coron et Nguyen et un article est en cours de préparation. Nous souhaiterions étendre ces résultats au problème non-linéaire par la suite.

WP2: Avec Jad Dabaghi et Christoph Stroessner (EPFL), nous avons initié une collaboration lors du CEMRACS 2021 sur le développement d'une méthode numérique pour la résolution d'un système de diffusion croisée qui est la véritable lmite hydrodynamique d'un processus stochastique d'exclusion multi-espèces. Cette dernière nécessite de calculer la matrice d'auto-diffusion du système, ce qui peut se faire en utilisant des méthodes de tenseurs.

WP3 : AVec Jad Dabaghi, nous allons explorer le potentiel gain computationnel qui peut être apporté par des méthodes de type pararéel pour l'accélération de la simulation des systèmes de diffusion croisée que nous considérons dans le projet.

WP4: Une extension de la méthode de réduction de modèles basée sur les barycentres de Wasserstein pour des problèmes de transport non conservatifs a été initiée pendant le CEMRACS 2021 avec Tobias Blickhan (Max-Planck Institut Garching), Olga Mula, Guillaume Enchéry (IFPEN), Damiano Lombardi et Beatrice Battisti (INRIA Bordeaux).
Un article est actuellement en préparation avec Jad Dabaghi sur le développement d'une méthode de bases réduites préservant la structure entropique d'un système de diffusion croisée paramétrique. La théorie mathématique, qui a été initialisée durant le stage de M2 de Tinh Van Gia Nguyen, est maintenant achevée et des tests numériques sont en cours.

3 articles parus dans des revues internationales avec comité de lecture

-Virginie Ehrlacher, Damiano Lombardi, Olga Mula, François-Xavier Vialard, Nonlinear model reduction on metric spaces. Application to one-dimensional conservative PDEs in Wasserstein spaces, accepted for publication in ESAIM: M2AN, 2020
-Virginie Ehrlacher, Greta Marino, Jan-Frederik Pietschmann, Existence of weak solutions to a cross-diffusion Cahn-Hilliard type system, Journal of Differential Equations, 286, 2021, p. 578-623
-Clément Cancès, Benoît Gaudeul, A convergent entropy diminishing finite volume scheme for a cross-diffusion system, SIAM Journal on Numerical Analysis 58 (5), 2020, p. 2684-2710

2 ont été soumis
4 sont en préparation

Le but de ce projet est de développer des modèles et des méthodes numériques précises et efficaces pour la simulation haute performance et l'optimisation du procédé de fabrication de cellules solaires à couches minces.

Le film mince, où les mécanismes photovoltaïques qui déterminent l'efficacité de la cellule solaire ont lieu, est produit par un procédé de dépôt physique par phase vapeur (PVD). Un substrat est introduit dans un four à haute température où les différentes espèces chimiques qui vont constituer la couche mince sont injectées sous forme gaseuse. Les molécules se déposent sur la surface du substrat de telle sorte que le film mince s'épaissit. De plus, les différents composés diffusent à l'intérieur du film, de telle sorte que les fractions volumiques de chaque espèce évoluent au cours du temps. L'efficacité de la cellule solaire dépend fortement de la composition finale du film, qui est fixée dès que le substrat est retiré du four. Un défi important consiste à optimiser les flux de chaque espèce chimique introduite dans le four durant le procédé de fabrication de sorte que les profils de fractions volumiques locales dans la couche soient aussi proches que possibles de profils désirés.

Deux phénomènes doivent être pris en compte pour modéliser l'évolution des fractions volumiques de chaque espèce chimique au cours du procédé: 1) les phénomènes de diffusion croisée entre les composants chimiques à l'intérieur de la couche mince; 2) l'évolution de la surface du film. Dans le contexte d'une collaboration avec l'IPVF (Institut Photovoltaïque de France), Virginie Ehrlacher [PI] et et un doctorant ont étudié un modèle de diffusion croisée unidimensionnel défini sur domaine mobile pour modéliser l'évolution des concentrations locales des différents composés à l'intérieur du film mince au cours du procédé PVD. Des comparaisons entre des résultats issus de simulations numériques et des mesures expérimentales ont donné des résultats très encourageants quant à la pertinence d'une telle approche.

Cependant, le modèle étudié par le PI et son étudiant souffre de plusieurs limitations. A cause de son caractère unidimensionnel, il est impossible de l'utiliser pour étudier des effets géométriques liés à la tension de surface ou aux phénomènes de diffusion croisée qui ont lieu à a surface du film. Il est cependant très important de prendre en compte ces phénomènes, tout particulièrement pour la production de cellules solaires courbes directement intégrées à des bâtiments. Il est absolument nécessaire de proposer un modèle multi-dimensionnel pour le procédé PVD, ainsi que des méthodes numériques précises et efficaces pour approcher numériquement ses solutions. Un tel modèle devra prendre en compte l'évolution de la géométrie et de la composition chimique de la surface du film, couplée aux phénomènes de diffusion croisée qui ont lieu entre les différentes espèces chimiques au sein du film et à sa surface. Ceci représente une avancée scientifique significative au niveau des modèles et des schémas numériques existants que nous souhaitons aborder dans ce projet.

Quatre tâches principales sont identifiées pour aborder ce problème:
1) identifier des modèles adaptés pour l'évolution des fractions volumiques des différentes espèces chimiques à l'intérieur et à la surface du film. Ces modèles s'écriront comme des systèmes de diffusion croisée définis sur un domaine à frontière mobile, prenant en compte les phénomènes de diffusion croisée surfaciques;
2) développer des schémas numériques pour la simulation de tels systèmes, qui devront respecter leurs propriétés mathématiques;
3) paralléliser les schémas numériques obtenus, en utilisant des méthodes de décomposition de domaines espace-temps et des algorithmes pararéels;
4) construire des modèles réduits précis et efficaces, qui seront utilisés pour la calibration des paramètres intervenant dans le modèle avec des données expérimentales et pour l'optimisation du procédé PVD.