Processus sur Graphes et Cartes Aléatoires – ProGraM

L'étude des propriétés géométriques des graphes aléatoires parcimonieux et des cartes aléatoires est un domaine de recherche extrêmement actif depuis maintenant plusieurs dizaines d'années. Plus récemment, un pan entier de ces recherches se concentre sur l'étude de processus stochastiques vivant sur de tels objets. Les marches aléatoires, modèles de percolation, le modèle d'Ising ou de Potts ainsi que des systèmes de particules en interaction ont en particulier été considérés, avec des motivations allant de la physique théorique à la biologie.

Le projet ProGraM regroupe de jeunes mathématiciens et mathématiciennes ainsi qu'un doctorant et un post-doctorant, experts en probabilités, combinatoire et physique théorique. Le projet a pour ambition de mieux comprendre le comportement de processus stochastiques issus de la mécanique statistique sur des limites locales de graphes aléatoires ou de cartes aléatoires, ainsi que de comprendre les informations que ces comportements donnent sur la géométrie des espaces sous-jacents à travers quatre axes.

1- Cartes aléatoires et matière. Nous étudierons les propriétés géométriques de cartes aléatoires couplées avec un modèle d'Ising. Les propriétés asymptotiques sont conjecturées identiques à celles de la carte brownienne lorsque le modèle d'Ising est non critique. En revanche prendre un modèle d'Ising critique devrait faire sortir de cette classe d'universalité.

2- Algorithmes d'exploration. Les algorithmes de parcours en largeur et en profondeur d'un graphe connexe peuvent être vus comme des marches aléatoires dont la trace forme un arbre couvrant du graphe. Sur un grand nombre de modèles classiques de graphes aléatoires, nous pensons pouvoir montrer que le profil de cet arbre couvrant converge vers une limite déterministe. L'étude de ces limites et de variantes de ces algorithmes nous permettra ensuite d'obtenir des informations sur les longs chemins dans le graphe.

3- Spectre d'adjacence. L'étude des propriétés spectrales des grands graphes aléatoires est en plein essor. Nous voulons y contribuer grâce aux renseignements sur les longs chemins que nous obtiendrons avec le point précédent. Nous comptons aussi étudier l'influence de sommets de degrés anormalement grands sur la présence d'outliers dans le spectre d'un graphe.

4- Particules en Interactions. Le comportement de systèmes de particules en interaction modélisant la propagation d'une infection ou d'une rumeur sur un graphe dépend beaucoup des propriétés géométriques du graphe. En particulier, le processus de contact est très sensible à la répartition des sommets de haut degrés dans le graphe si ces degrés sont non bornés. Nous allons étudier ce lien plus en profondeur à l'aide d'un processus de percolation original introduit par deux membres du projet.