Amas, Algèbre Homologique, Représentations et Symétrie Miroir – CHARMS

Dans son exposé à l'ICM de 1994, Maxim Kontsevich a énoncé sa Conjecture sur la Symétrie Miroir Homologique. Cette conjecture relie deux catégories, l'une provenant de la géométrie symplectique (la catégorie de Fukaya) et l'autre provenant de la géométrie algébrique (la catégorie des faisceaux cohérents), au moyen d'une équivalence entre leurs catégories dérivées. Cette conjecture est, à ce jour, ouverte dans la majorité des cas.

Récemment, des liens forts unissant la symétrie miroir homologique et la théorie des représentations de certaines algèbres (dites « aimables ») ont été mis au jour. Ces liens ouvrent la voie à de nouvelles stratégies pour résoudre certains problèmes anciens dans les deux domaines, en permettant l'application de méthodes bien connues de théorie des représentation à l'étude des catégories de Fukaya (par exemple, pour la recherche de bons générateurs pour la catégorie), et celle d'outils géométriques à l'étude de propriétés homologiques des algèbres associatives (par exemple, pour la recherche d'invariants dérivés numériques).

En plus de leurs liens avec la symétrie miroir homologique, les algèbres aimables jouissent d'une proximité avec le monde de la combinatoire et de la géométrie polyédrale. Les propriétés homologiques et en théorie des représentations de ces algèbres mènent naturellement à l'étude d'objets combinatoires, tels des mots sur des graphes, et géométriques, tels des polyèdres et des éventails. Ces objecs sont intimement liés à ceux apparaissant dans la théorie, très active, des algèbres amassées (en anglais « cluster algebras »).

Ce projet a pour but d'exploiter les interactions entre la symétrie miroir homologique, la théorie des représentations des carquois, les modèles combinatoires et la géométrie polyédrale, mise au jour en partie grâce à la théorie des algèbres amassées. Les vastes connaissances acquises sur les algèbres amassées lors des vingt dernières années ouvrent la voie à de nouvelles directions de recherche dans chacun de ces sujets. Pour satisfaire à ses objectifs, ce projet réunira des experts de premier plan agissant dans la grande variété des domaines impliqués.

Plus spécifiquement, les objectifs de ce projet sont les suivants :
- Comprendre la catégorie de Fukaya de certaines surfaces en utilisant la théorie des représentations des algèbres associatives. Utiliser ces outils pour, entre autres, obtenir des invariants dérivés d'algèbres, étudier la catégorie de Fukaya d'une surface dans le cas non homologiquement lisse, et obtenir des représentations catégoriques de groupes de tresses.
- Repousser les limites des connaissances en théorie des représentations des algèbres aimables et des algèbres associatives en général. En particulier, développer la théorie du tau-basculement pour les algèbres aimables de dimension infinie et pour des classes plus générales d'algèbres de dimension infinie, et décrire leurs catégories dérivées au moyen de modèles combinatoires.
- Décrire et étudier les objets combinatoires liés aux algèbres aimables et aux algèbres amassées. En particulier, étudier leurs « type cone », diagrammes de dispersion, complexes d'amas et éventail de g-vecteurs, et construire des réalisations polyédrales en types finis et infinis.