CE40 - Mathématiques

Cohomologie des espaces localement symétriques – COLOSS

COLOSS

Cohomologie des espaces localement symétrique

Programme de Langlands global, l-adique et p-adique

Comprendre les représentations du groupe de Galois absolu de Q est un des problèmes principaux en théorie des nombres. Le programme de Langlands vise établir une correspondance entre les représentations de ce groupe et des représentations de groupes algébriques (ou plutôt de leur points adéliques) vérifiant certaines conditions. <br />La cohomologie des espaces symétriques arithmétiques encode de nombreuses instances de cette correspondance. <br /> <br />Le projet COLOSS est consacré à l'étude des cohomologies de ces espaces, et à leurs applications à la correspondance de Langlands et son avatar p-adique. Il combine un aspect de développement et de raffinement des géométries p-adiques et des cohomologies des variétés p-adiques, et des applications arithmétiques de ces théories

Le projet est organisé selon trois grands axes:

1. Cohomologie des variétés de Shimura
2. Programme de Langlands p-adic
3. Théories cohomologies p-adic

En confrontant les buts du projet aux résultats déjà obtenus, on peut constater que dans toutes les directions proposées, la plupart des objectifs envisagés sont soit atteints soit des avancées profondes ont été obtenues.

Comme prévu, les obstacles principaux se concentrent sur le programme de Langlands p-adique

33 articles publiés
38 preprints soumis pour publication

Comprendre les représentations du groupe de Galois absolu de Q, leurs fonctions L et les informations arithmétiques cachées dans les valeurs de ces fonctions L aux entiers (conjectures de Beilinson et de Bloch-Kato), est un des problèmes principaux en théorie des nombres. Le programme de Langlands vise à établir une correspondance, préservant les fonctions L, entre les représentations de ce groupe et des représentations de groupes algébriques (ou plutôt de leur points adéliques) vérifiant certaines conditions. A côté du programme de Langlands classique s'est développé un avatar p-adique qui a pris une importance grandissante depuis les travaux de Wiles ayant conduit à la preuve du grand théorème de Fermat.

La cohomologie des espaces symétriques arithmétiques (courbes modulaires, variétés de Shimura, espaces de Rapoport-Zink, champs de Shtukas, etc.) encode de nombreuses instances de la correspondance de Langlands. Le projet COLOSS est consacré à l'étude des cohomologies de ces espaces, et à leurs applications à la correspondance de Langlands et son avatar p-adique. Il combine un aspect de développement et de raffinement des géométries p-adiques et des cohomologies des variétés p-adiques, et des applications arithmétiques de ces théories.

Coordinateur du projet

Madame Wieslawa Niziol (Unité de mathématiques pures et appliquées de l'ENS de Lyon)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UMPA/ENSL Unité de mathématiques pures et appliquées de l'ENS de Lyon
IMJ-PRG Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche
LAGA - Université Paris 13 Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications

Aide de l'ANR 255 096 euros
Début et durée du projet scientifique : octobre 2019 - 48 Mois

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