Constructions de min-max en géométrie et topologie – Min-Max

Ce projet de recherche collaboratif vise à rassembler des chercheurs de divers domaines - géométrie et topologie, théorie des surfaces minimales et analyse géométrique, géométrie algorithmique - afin de travailler sur un thème précis autour de constructions de min-max et d'estimations de taille.

Ces dernières années, les techniques min-max ont conduit à des avancées spectaculaires dans le domaine de la géométrie, notamment la résolution de la conjecture de Willmore et celle de la conjecture de Yau selon une approche développée par Marques et Neves. Ces avancées combinent des techniques analytiques de la théorie d'Almgren-Pitts assurant l'existence d'hypersurfaces minimales par le biais d'arguments de min-max et d'estimations récentes de min-max dues à Gromov et Guth basées sur des considérations topologiques. S'appuyant sur différentes branches de la géométrie, de l'analyse et de la topologie, la résolution de ces conjectures a ouvert un nouveau chapitre de la géométrie différentielle en promouvant la théorie du min-max et ses applications, comme la résolution de la conjecture de Poincaré par Perelman a ouvert un nouveau chapitre avec la théorie du flot de Ricci.

Le thème central de cette proposition est d'étudier la géométrie et la topologie d'objets géométriques par le biais de processus de min-max issus de la théorie de Morse sur l'espace des cycles pour différentes fonctionnelles mesurant la taille des cycles. Un accent particulier sera porté à la mise en œuvre de nouvelles constructions géométriques suffisamment effectives pour conduire au développement d'algorithmes en géométrie algorithmique.

Dans la description du projet, nous exposons trois thèmes se chevauchant largement autour de la théorie des surfaces minimales, de la théorie de l'homotopie quantitative et de la topologie combinatoire et non-combinatoire :

(1) Théorie de surface minimale,
(a) Estimations d'indices, topologie et classification,
(b) Surfaces discrètes dans les 3-variétés et applications;

(2) Théorie quantitative de l'homotopie,
(a) Estimations de balayages en géométrie riemannienne,
(b) Décompositions en pantalons,
(c) Balayages arborescents, graphes plongés et algorithmes;

(3) Topologie combinatoire et non-combinatoire,
(a) Théorème des recouvrements acycliques de Leray et théorème de projection de Kalai-Meshulam,
(b) Du lemme de sélection aux théorèmes de la taille et inversement.

Ce projet appelle une collaboration étroite entre les chercheurs de trois communautés scientifiques, puisque les progrès dans une direction peuvent être souvent adaptés pour résoudre des problèmes dans une autre direction, comme l'illustrent certaines des questions présentées dans cette proposition. En joignant les expertises complémentaires des membres de notre consortium, notre objectif est de développer cette approche de min-max sous différents angles, rendant notre projet extrêmement cohérent autour de ce sujet en pleine croissance.