CE40 - Mathématiques

Régression extrême avec applications à l'économétrie, l'environnement et à la finance – ExtremReg

Régression extrême avec applications à l'économétrie, l'environnement et à la finance

Le développement de propriétés mathématiques sous les modèles de frontière est souvent plus difficile que sous les modèles de régression standard. Aussi, alors que les propriétés de valeurs extrêmes des quantiles sont bien établies, on en sait beaucoup moins sur leurs analogues expectiles et extremiles. Enfin, l'estimation des extrêmes et mesures de risque conditionnels en large dimension reste encore à explorer. Notre projet consiste à résoudre ces problèmes dans différentes directions.

Modèles de frontière, Régression extrême et Evaluation du risque

Ce projet couvre trois grands axes récents de la théorie des valeurs extrêmes en statistique. En premier lieu, nous contribuons à l'estimation de modèles de frontière dans trois directions différentes : <br /> <br />Tâche 1 : Estimation de la fonction frontière par splines polynomiales sous contraintes de forme. <br /> <br />Tâche 2 : Estimation robuste de la fonction frontière et à partir de données bruitées. <br /> <br />Tâche 3 : Construction et développement de la théorie d'estimateurs des paramètres de processus autorégressifs unilatéraux et localement stationnaires. <br /> <br />Nous apportons ensuite de nouveaux développements aux théories des expectiles et extremiles, deux notions particulièrement intéressantes en gestion de risque : <br /> <br />Tâche 4 : Construire des estimateurs extrapolés des extremiles et des expectiles extrêmes, et obtenir leurs lois asymptotiques sous des conditions de mélange. <br /> <br />Tâche 5 : Explorer la notion statistique de profondeur expectile ainsi que la méthode de régression expectile avec des variables réponses multivariées. <br /> <br />Enfin, nous travaillons sur le problème d'estimation des extrêmes et mesures de risque en présence de covariables : <br /> <br />Tâche 6 : Fournir des outils élaborés permettant d'estimer les expectiles et les extremiles conditionnels en queue de distribution. <br /> <br />Tâche 7 : Utiliser la théorie des valeurs extrêmes multivariées dans le cadre de la régression, mesurer la variabilité dans la queue de distribution, et comparer des risques de natures différentes.

Nous décrivons brièvement ici les méthodes utilisées pour atteindre certains objectifs:
L'outil principal de notre estimation robuste de fonctions frontières est un concept de frontière partielle basée sur des moments de probabilités pondérés. Lorsqu'il s'agit d'estimer les risques extrêmes correspondant à des lois à queue lourde, on estime d'abord l'indice de queue, en employant par exemple des combinaisons pondérées de statistiques d'ordre et de statistiques de moindres carrés asymétriques, avant d'utiliser l'estimateur obtenu en association avec des techniques d'extrapolation et de plug-in comme base pour estimer les mesures de risque extrêmes. La régression extremile est basée sur une approche locale linéaire dans le cas central et sur l'extrapolation d'un estimateur non-paramétrique en queue de distribution. La régression expectile extrême exploite la caractérisation des expectiles comme quantiles
d'une transformation de la loi initiale pour définir des estimateurs à noyau. Pour remédier au fléau de la dimension quand le nombre de covariables devient trop élevé, des estimateurs alternatifs sont construits en appliquant des arguments de valeurs extrêmes sur les résidus de la régression. La correction du biais dans l'estimation de la fonction de dépendance extrême entre plusieurs variables se fait dans le cadre de la régression en estimant d'abord le biais d'un estimateur lissé de cette fonction, puis en le soustrayant de l'estimateur. La robustesse dans l'estimation du coefficient de dépendance de queue est obtenue en présence de covariables à l'aide d'un critère de divergence. La construction d'intervalles de confiance précis pour les quantiles conditionnels intermédiaires s'appuie sur la combinaison d'une méthode de sélection par plus proches voisins avec une technique de réduction de la dimension. Enfin, la nouvelle mesure de variabilité dans la queue de distribution est obtenue en appliquant une transformation de Box-Cox à la mesure «Tail-Gini functional».

Nous présentons une approche d'estimation robuste dans des modèles de frontière déterministes et un test de séparabilité
des non-observables dans les modèles avec endogénéité. Nous estimons les expectiles extrêmes via un nouvel estimateur de
l'indice de queue ou en s'appuyant sur les L^p-quantiles pour réduire le biais d’estimation. Nous proposons aussi une construction automatique d'estimateurs à biais réduit et résolvons le problème d'inférence de mesures de risque basées sur les expectiles extrêmes dans un cadre général de ß-mélange, ainsi que dans un contexte de dépendance multivariée. Le package R « ExtremeRisks » implémente ces procédures. Nous explorons la profondeur expectile et les expectiles multivariés, ainsi que la régression extremile centrale et en queue de distribution. Nous définissons des estimateurs à noyau pour les expectiles extrêmes et généralisons l'approche à la classe des L^p-quantiles conditionnels. Nous démêlons le problème
d'estimation des expectiles extrêmes dans les modèles de régression hétéroscédastique, ainsi qu'en présence de covariables fonctionnelles. Nous revisitons l'estimation de quantiles conditionnels extrêmes dans des modèles de type position-dispersion. Nous construisons des intervalles de confiance robustes à la dimension de la covariable pour des quantiles intermédiaires. Nous abordons la correction du biais dans l'estimation de la fonction de dépendance extrême dans le cadre de la régression, et proposons des estimateurs robustes. Nous présentons un estimateur intermédiaire du «Marginal Expected Shortfall» en présence de covariables avant de l'extrapoler au-delà de l'échantillon, et nous adaptons cette méthode à l'estimation des primes de réassurance lorsque le montant des sinistres est observé conjointement aux covariables. Nous considérons aussi l'estimation de «l’Expected Proportional Shortfall» qui permet de comparer différents risques, et suggérons une nouvelle mesure de variabilité dans la queue de distribution.

Nous travaillons actuellement sur l'ajustement d'une frontière monotone par splines cubiques de régression et à partir de données bruitées. Aussi, nous développons la théorie asypmtotique des extremiles empiriques sous des conditions de dépendance faible. Un autre article en cours de rédaction porte sur la généralisation de la notion de profondeur expectile aux M-quantiles
qui regroupent les expectiles et les quantiles ordinaires. Un projet en cours d’achèvement porte sur la régression extremile pour des lois à queues lourdes avec application sur des données sismiques. Dans un autre projet, nous essayons d'améliorer l'estimation des expectiles extrêmes dans les modèles de régression hétéroscédastique en considérant une théorie plus générale et en l'appliquant en association avec une approche locale linéaire. La construction d'intervalles de confiance précis pour des quantiles conditionnels extrêmes, même quand la dimension de la covariable augmente, est également en plein développement. Nous travaillons aussi sur deux nouveaux axes: (1) l'estimation robuste de la fonction de dépendance de queue, non considérée jusqu'à présent dans la littérature car difficile à estimer de façon robuste et (2) l'introduction de nouvelles mesures de risque dépendant d'un paramètre, des valeurs différentes de celui-ci permettant d'estimer plusieurs mesures importantes dans les applications actuarielles. Ces deux thématiques seront traitées en présence de covariables.

12 publications et 1 package R :

1. Ag Ahmad, A., Deme, E., Diop, A., Girard, S., Usseglio-Carleve, A. (2020). Estimation of extreme quantiles of heavy-tailed distributions in a location-dispersion regression model. Electronic Journal of Statistics, 14(2):4421-4456.
2. Daouia, A., Florens, J-P., Simar, L. (2020). Robustified expected maximum production frontiers, Econometric Theory, To appear.
3. Daouia, A., Gijbels, I., Stupfler, G. (2021). Extremile regression, Journal of the American Statistical Association, To appear.
4. Daouia, A., Girard, S., Stupfler, G. (2021). ExpectHill estimation, extreme risk and heavy tails, Journal of Econometrics 221(1): 97-117.
5. Escobar-Bach, M., Guillou, A., Goegebeur, Y. (2020). Bias correction in conditional multivariate extremes, Electron. J. Statist., 14, 1773-1795.
6. Gardes, L. (2020). Nonparametric confidence interval for conditional quantiles with large-dimensional covariates, Electronic Journal of Statistics, 14(1), 661-701.
7. Gardes, L., Girard, S. (2021). On the estimation of the variability in the distribution tail, Test, To appear.
8. Girard, S., Stupfler, G., Usseglio-Carleve, A. (2020). Nonparametric extreme conditional expectile estimation, Scandinavian Journal of Statistics, To appear.
9. Girard, S., Stupfler, G., Usseglio-Carleve, A. (2021). Extreme Lp-quantile kernel regression. To appear in Advances in Contemporary Statistics and Econometrics, Springer.
10. Goegebeur, Y., Guillou, A., Le Ho, N. K., Qin, J. (2020). Robust nonparametric estimation of the conditional tail dependence coefficient, J. Multivariate Anal., 178, To appear.
11. Goegebeur, Y., Guillou, A., Le Ho, N. K., Qin, J. (2021). Conditional marginal expected shortfall, Extremes, To appear.
12. Goegebeur, Y., Guillou, A., Qin, J. (2021). Extreme value estimation of the conditional risk premium in reinsurance, Insurance Math. Econom., 96, 68-80.
13. Padoan, S.A., Stupfler, G. (2020). R package « ExtremeRisks » : Extreme Risk Measures.

Ce projet couvre trois grands axes récents de la théorie des valeurs extrêmes en statistique. En premier lieu, nous contribuerons à l'estimation de modèles de frontière. Dans ces modèles de régression non-standard, le terme d'erreur est unilatéral et le graphe de la fonction de régression représente l'extrémité supérieure du support de la loi conjointe d'intérêt. Ces modèles s'appliquent notamment en économétrie à l'analyse de productivité. Le développement de propriétés mathématiques sous ces modèles non réguliers est cependant souvent plus difficile que sous les modèles de régression standard. En outre, les conditions de régularité classiques sont violées sous ces modèles, ce qui leur vaut la qualification de modèles non réguliers. Notre projet tente de résoudre ces difficultés dans différentes directions en se basant sur des outils mathématiques élaborés : ajustement par splines polynomiales, théorie des problèmes inverses, et processus autorégressifs unilatéraux et localement stationnaires.

Nous apporterons ensuite de nouveaux développements aux théories des expectiles et extremiles, deux notions définies par la résolution de problèmes de moindres carrés asymétriques. Ces deux alternatives aux quantiles traditionnels sont particulièrement intéressantes en gestion de risque. Bien que les propriétés de valeurs extrêmes des expectiles soient bien développées, on en sait moins sur les extremiles en queue de distribution. Pour cette raison, nous projetons d'établir des approximations pondérées du processus extremile empirique en queue de distribution. L'objectif est également d'obtenir les résultats théoriques sous des conditions de mélange. Cette partie du projet sera consacrée aussi à la notion statistique de profondeur expectile et à la méthode de régression expectile avec des variables réponses multivariées.

Enfin, nous travaillerons sur le problème crucial et encore ouvert d'estimation des extrêmes conditionnels et multivariés en présence de données de grande dimension. Les objectifs de cette partie du projet sont doubles. D'une part, nous fournirons des outils élaborés permettant d'estimer les expectiles et les extremiles conditionnels en queue de distribution et, d'autre part, nous utiliserons des techniques de réduction de la dimension dans la modélisation des extrêmes conjoints de séries temporelles simultanées.

Coordinateur du projet

Monsieur Abdelaati Daouia (FONDATION JEAN JACQUES LAFFONT)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IRMA_UNISTRA Institut de recherche mathématique avancée (UMR 7501)
INRIA GRA Centre de Recherche Inria Grenoble - Rhône-Alpes
TSE FONDATION JEAN JACQUES LAFFONT
Université Libre de Bruxelles / European Center for Advanced Research in Economics and Statistics (ECARES)
Seoul National University / Department of Statistics
Technische Universität Braunschweig / Institut für Mathematische Stochastik
ENSAI ENSAI Rennes & CREST

Aide de l'ANR 159 000 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2019 - 48 Mois

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