CE40 - Mathématiques

Analyse Quantitative de Processus Metastables – QuAMProcs

Analyse quantitive de processus metastables

En Physique, on parle de métastabilité pour désigner des systèmes évoluant à différentes échelles de temps vers une état d'équilibre. de tels phénomènes sont maintenant observés dans de nombreux domaines des sciences: biologie, chimie, économie, modélisation du climat, sciences des matériaux. De récents progrès dans l'analyse de ces phénomènes ont fait émerger de de nombreuses questions théoriques et numériques que nous proposons de traiter dans ce projet.

Résultats quantitatifs pour des processus stochastiques, applications numériques

Le but de ce projet est d'analyser finement le comportement asymptotiques de processus stochastiques et d'équations cinétiques en lien avec les applications. Les principaux enjeux consistent à établir les bases théoriques pour de telles études et à obtenir des résultats quantitatifs précis (temps de retour à l'équilibre, analyse des événements de sortie, approximation par des processus de saut, etc.) pour de tels problèmes.

Théorie spectrale
Analyse microlocale
Analyse semiclassique
Méthodes hypocoercives
Grandes déviations
Méthodes de couplage
Méthodes d'entrelacement
Analyse sur les variétés

Parmi les objectifs énoncés dans le projet et ayant été partiellement ou entièrement réalisés, on peut citer:
-l’étude spectrale de processus de Langevin sur-amortis non réversible
-l’obtention de lois d’Arrhenius pour des processus réversibles dans le cas non-Morse
-l’étude d’opérateurs de Kramers-Fokker-Planck sur des domaines cylindriques
-l'obtention d'estimations hypocoercives pour des équations cinétiques
-l'estimation des mesures de Feynman-Kac dans des espaces de trajectoires continues et le développement d'un calcul variationnel pour des diffusions non-linéaires.

Les travaux ci-dessus s’inscrivent parfaitement dans le programme de recherche que nous avions présenté. Des progrès ont été accomplis dans la plupart des branches du projet et ont permis de faire émerger de nouvelles questions. De plus, plusieurs thèses ont été soutenues ou ont démarré sur ces thématiques. Pour la suite du projet, nous comptons accentuer nos efforts sur l’étude de processus non réversibles et de processus non-linéaires. Sur ces problématiques un certain nombre de collaborations inter-site pourront voir le jour par exemple sur des études à basse température (Langevin sur-amorti avec mesure stationnaire inconnue, Kramers-Fokker-Planck à bord, Langevin généralisé, processus de Markov déterministes par morceaux etc.)

13 articles dans des revues internationales
10 preprint

L'analyse mathématique de processus métastables a commencé il y a 75 ans avec les travaux de Kramers sur l'équation de Fokker-Planck. Originalement motivées par la compréhension de la vitesse de réaction chimique, les lois de Eyring-Kramers sont observées dans de nombreux domaines des sciences: biologie (dynamique moléculaire), sciences économiques (étude des bulles financières), modélisation du climat, etc. De plus, la description mathématique de ces phénomènes se trouve au coeur de l'utilisation d'algorithmes de calcul où les lois de Eyring-Kramers sont utilisées pour évaluer des temps de sortie par exemple.

Récemment, la théorie a connu des progrès importants liés à l'utilisation de nouveaux outils venant de la théorie spectrale et de la théorie des équations aux dérivées partielles.

Les méthodes semiclassiques en lien avec l'analyse spectrale du Laplacien de Witten ont permis d'obtenir des résultats très précis sur les processus réversibles. D'un point de vue théorique, l'approche semiclassique a permis de démontrer un développement asymptotique complet des petites valeurs propres du Laplacien de Witten dans des situations variées (problèmes globaux, problèmes à bord et plus récemment situation dégénérées). L’analyse des problèmes à bord a connu par ailleurs un vif regain d’intérêt suite à des travaux reliant le problème de Dirichlet sur un ouvert à l’analyse de l’évènement de sortie du domaine. Ces résultats sont par ailleurs porteurs de nombreuses possibilités d’applications.
Des avancées importantes ont aussi eu lieu sur l’analyse des processus irréversibles, en particulier sur l’équation de Langevin. Très récemment des membre du projet ont obtenu des premiers résultats validant les lois d’Eyring-Kramers pour l’équation de Langevin surammortie dans une cadre irréversible. Par ailleurs, des progrès remarquables ont été accomplis dans l’analyse de l’équation de Kramers-Fokker-Planck en combinant des techniques diverses : analyse microlocale, analyse complexe, utilisation de la super-symétrie. Une série de travaux impliquant en particulier deux membres du consortium a permis d’obtenir toute une variété d’informations nouvelles sur l’équation de Kramers-Fokker-Planck: estimations hypoelliptiques, estimations de la résolvante, calculs des « petites » valeurs propres. Au final ces travaux constituent la première démonstration de lois d’Eyring-Kramers pour l’équation de Langevin.

Les progrès mentionnés ci-dessus ont ouvert de nombreuses perspectives à l’origine des travaux que nous envisageons. Tout d’abord, nous souhaiterions généraliser les résultats obtenus sur l’équation de Langevin amortie à des cas dégénérés (plusieurs types de dégénérescences existent dont certains ont été étudié récemment pas des membres du projet). Les résultats obtenus sur les problèmes à bord restent aussi à améliorer pour pouvoir traiter le cas intéressant en pratique où le domaine considéré est un bassin d’attraction pour la dynamique déterministe. Bien que l’analyse présente de nombreuses difficultés, elle semble abordable au vue des avancées récentes.
Concernant les processus irréversibles, la variété des problèmes restant à étudier est très importante. Parmi eux citons le cas de l’équation de Langevin surramortie irréversible (avec ou sans bord), l’équation de Kramers-Fokker-Planck dans le cas d’un domaine borné ou pour des noyaux de collision non locaux. Des études en lien avec des opérateurs de type Metropolis sont aussi envisagées.

En résumé, le but de ce projet est de développer plus avant l'analyse mathématique des phénomènes métastables, en mêlant les aspects probabilistes et équations aux dérivées partielles. Nos efforts seront en premier lieu concentrés sur les processus irréversibles, les problèmes à bord, la dynamique non linéaire. Une attention particulière sera aussi portée aux liens entre questions théoriques et numériques.

Coordination du projet

Laurent Michel (Institut de mathématiques de Bordeaux)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IMB Institut de mathématiques de Bordeaux
CERMICS Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique

Aide de l'ANR 246 893 euros
Début et durée du projet scientifique : octobre 2019 - 48 Mois

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