Combinatoire algébrique des randonnées sur les réseaux réguliers – ALCOHOL

Ce projet a pour but l’étude approfondie des structures algébriques associées aux chemins et empilements de cycles sur les graphes finis et infinis. Un objectif de cette étude est la détermination des constantes connectives et universelles sur les réseaux réguliers du plan. Ces constantes dictent la croissance asymptotique du nombre de polygones auto évitants sur le réseau. Jusqu’à présent ce problème ouvert depuis 70 ans n’a été abordé formellement qu’à l’aide de la théorie des probabilités et d’outils venus de la théorie conforme des champs. Nous approchons ce sujet du point de vue de la théorie des nombres dont une extension semi commutative décrit la combinatoire des empilements de cycles. Dans ce cadre, la détermination des constantes connectives est équivalente à la résolution du théorème des nombres premiers.

Les deux principaux thèmes du projet sont l’extension des cribles de Brun et Selberg au cas des polygones auto évitants et la mise au point d’algèbres arborescentes associées d’un nouveau type. Dans le premier thème nous mettrons au point puis exploiterons ces cribles pour calculer la densité asymptotique de chemins multiples d’un polygone auto évitant donné. Ce résultat s’insère à son tour dans un autre crible qui donne la constante connective du réseau et, si le contrôle des erreurs est bon, la correction universelle associée. Ces cribles sont capables de relier algébriquement les différentes classes universelles identifiées en théorie des probabilités, c'est à dire différentes réalisations de l’évolution de Schramm-Loewner (SLE), ici SLE2 et SLE8/3. Lors d’une deuxième phase de recherche, nous élargirons les cribles aux ensembles partiellement ordonnés satisfaisant certaines hypothèses de régularité. Pour de tels ensembles, les cribles fournissent des méthodes de dénombrement asymptotique permettant la réduction de problèmes d’énumérations à l’étude des zéros de fonctions bien choisies. Un objectif particulier ici sera de relier la constante connective à la croissance asymptotique du nombre de polyominos en fonction de l’aire de ceux-ci.

Le second thème porte sur un nouveau type de structure algébrique associée aux empilements de cycles sur les graphes qui formalise la procédure dite à boucles effacées de Lawler. Celle-ci consiste à enlever les boucles d’un chemin dans l’ordre chronologique de leur parcours. Remarquablement, ceci produit les facteurs premiers du chemins tels que dictés par l’extension de la théorie des nombres. Des arguments combinatoires indiquent alors qu’il existe une arborescence non associative et colorée d’algèbres de Hopf décrivant : i) la génération des chemins à partir de cycles, c’est à dire l’inverse de la procédure à boucles effacées; ii) la combinatoire des fractions continues; iii) une formulation universelle en fraction continues des fonction génératrices de n’importe quel type de randonnées; et iv) les solutions de systèmes d’équations différentielles couplées à coefficients non constants. Dans cette dernière application, l’algèbre donne naissance à la seule méthode non perturbative existante pour calculer la dynamique de certains systèmes quantiques. Or, de telles algèbres ont été totalement ignorées jusqu’ici en raison de leur supposée complexité et de ce que leurs applications n’ont pas été reconnues. Nous explorerons en particulier leurs idempotents qui permettent de revenir aux processus générateurs d’une dynamique quantique et aux cycles fondamentaux d’un graphe. L’asymptotique de tels idempotents est là encore dictée par des cribles venus de la théorie des nombres étendue aux cycles. Il en résultera donc de nouveaux outils pour traiter des problèmes de dénombrement sur les graphes.

Le coordinateur du projet est accompagné d'une équipe de 5 jeunes chercheur(e)s et d’une professeure de stature internationale apportant des expertises complémentaires dans les domaines de la combinatoire des empilements de cycles, des algèbres de Hopfs, des posets et opérades.