CE40 - Mathématiques

Espaces de modules de différentielles: surfaces plates et interactions – MoDiff

Espaces de modules de différentielles : surfaces plates et interactions

Ce projet étudie de nouveaux problèmes de dynamique et de géométrie sur les espaces de modules de différentielles (vues également comme des surfaces plates), en explorant leur interaction avec la combinatoire, la géométrie énumérative, la géométrie complexe et hyperbolique.

Problèmes quantitatifs de dynamique et géométrie sur les espaces de modules de différentielles

La dynamique des billards dans les polygones rationnels peut être comprise efficacement par l'étude des propriétés dynamiques et géométriques des espaces de modules de différentielles correspondantes (ou surfaces plates), grâce à un procédé de renormalisation. Les propriétés dynamiques quantitatives (comme le nombre d'orbites fermées, ou le taux de diffusion dans les modèles de wind-tree) sont obtenues de façon similaire en calculant des invariants géométriques et dynamiques de ces espaces de modules (comme les volumes e Masur-Veech ou les constantes de Siegel-Veech). Même si la dynamique des billards est la motivation principale pour calculer ces invariants, ils trouvent plein d'applications dans d'autres domaines. Notre but est de mener l'analyse de ces invariants dans des cadres plus généraux, en combinant un spectre large de techniques et d'expertise dans différents domaines.

Le programme de travail est divisé en cinq tâches. La première est d'étudier des problèmes asymptotiques en genre grand : pour celle-ci nous avons des conjectures très explicites sur le comportement des volumes et des constantes de Siegel-Veech à prouver. La seconde tâche concerne les différentielles d'ordre supérieur, et en particulier le calcul des volumes des espaces de modules correspondants. Le troisième objectif est la construction et le calcul d'invariants géométriques similaires pour les sous-variétés affines. Un aure tâche est liée à la combinatoire, et plus précisément l'énumération des graphes en ruban ou des méandres, via la géométrie plate. Enfin nous voulons étudier le bord de l'espace de Teichmüller et en particulier les ensembles limites d disques de Teichmüller, ainsi qu'explorer les relations entre les géométries plates et hyperboliques.

Nos résultats principaux (Juillet 2021) répondent à certaines questions sur l'asymptotique en grand genre ainsi que les différentielles d'ordre supérieur et les sous-variétés affines.

L'originalité du projet réside en sa transversalité et son focus sur les invariants calculables, ce qui permet de baser l'intuition sur des expériences numériques, et rend la plupart des objectifs de ce projets raisonnables. La nouveauté est d'associer des experts de différents domaines pour démarrer de novelles collaborations et d'attaquer ces questions de la façon la plus efficace possible.

-V. Koziarz et D-M. Nguyen: « Variation of Hodge structure and
enumerating tilings of surfaces by triangles and squares. » Journal de l'Ecole Polytechnique: Mathématiques 8 (2021),
-V. Delecroix, E. Goujard, P. Zograf, A. Zorich, «Large genus asymptotic geometry of random square-tiled surfaces and of random multicurves «, arXiv:2007.04740.

Depuis les travaux fondateurs de Masur et Veech en 1982, la théorie des surfaces de translation s'est développée de façon très fructueuse au cours des trente dernières années. Diverses techniques issues de la combinatoire, la géométrie, la théorie ergodique ont été utilisées pour attaquer des questions extrêmement délicates.
Le but du projet MoDiff est de développer plus en profondeur des techniques introduites par la coordinatrice avec un consortium dont l'expertise couvre un spectre large. En particulier nous voulons étudier de nouveaux problèmes de dynamique et de géométrie des espaces de modules de différentielles (vues aussi comme surfaces plates), en explorant leurs interactions avec la combinatoire, la géométrie énumérative, la géométrie complexe, la géométrie hyperbolique. Le projet est centré autour du calcul de volumes et d'invariants géométriques comme les constantes de Siegel-Veech. Ce qui aurait des conséquences directes en termes de dynamique des billards rationaux. Le projet s'étend également à des problèmes connexes comme la géométrie du bord des espaces de modules, la combinatoire asymptotique, l'interaction entre les métriques plates et hyperboliques sur les surfaces.

Coordination du projet

Elise Goujard (Institut de mathématiques de Bordeaux)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IMB Institut de mathématiques de Bordeaux

Aide de l'ANR 69 336 euros
Début et durée du projet scientifique : novembre 2019 - 48 Mois

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