Aspects algébriques des groupes de difféotopie et de groupes s'y rattachant – AlMaRe

Les groupes de difféotopie des surfaces de Riemann jouent un rôle prépondérant dans plusieurs domaines mathématiques, tels que la géométrie algébrique, la géométrie différentielle et la topologie de petite dimension. Par un résultat classique de Dehn, Nielsen et Baer, ces groupes peuvent être identifiés aux groupes d'automorphismes extérieurs des groupes fondamentaux des surfaces de Riemann, qui sont quotients de groupes libres par une seule relation. Ainsi, l'étude des groupes de difféotopie du point de vue géométrique et/ou combinatoire se lie très souvent à l'étude des groupes d'automorphismes de groupes libres, et celle des sous-groupes remarquables de ces derniers tels que les groupes de tresses (et leurs généralisations). Plus récemment, les groupes de cylindres d'homologie de dimension trois se sont avérés être des "agrandissements" très intéressants des groupes de difféotopie.

Ce projet de recherche sera centré sur certains aspects algébriques des groupes de difféotopie des surfaces et de tous ces groupes qui s'y rattachent. Nous nous intéresserons surtout à leur homologie, leurs propriétés résiduelles, le problème de leur générations/présentations ainsi qu'à leurs représentations linéaires. Le trait caractéristique de notre étude sera l'utilisation de *filtrations centrales* sur ces groupes pour identifier leur structure algébrique. L'étude de filtrations centrales sur le groupe d'automorphismes d'un groupe libre débuta dès les années 60 avec le travail d'Andreadakis : il introduisit ce qu'on appelle aujourd'hui la "filtration d'Andreadakis" sur le sous-groupe IA des automorphismes qui sont "l'Identitié sur l'Abélianisation" du groupe libre, et il commença à comparer cette filtration centrale à la suite centrale descendante de IA. Les filtrations centrales sur les groupes de difféotopie furent ensuite considérées par Johnson dans les années 80, puis par Morita dans les années 90 : ils entamèrent alors l'étude systématique de la "filtration de Johnson", qui est l'analogue de la filtration d'Andreadakis pour le sous-groupe du groupe de difféotopie agissant trivialement sur l'homologie de la surface, à savoir le "groupe de Torelli". Un peu plus tard, le sujet des filtrations centrales s'est ouvert sur la géométrie algébrique avec les travaux de Hain et s'est enrichi d'autres courants mathématiques, tels que la théorie des invariants de type fini des variétés de dimension trois avec les résultats de Garoufalidis & Levine, ou encore la théorie géométrique des groupes par les travaux de Bartholdi & Grigorchuk. En dépit de la variété et de la profondeur des résultats obtenus durant ces cinquante dernières années, la structure algébrique des groupes de difféotopie et des groupes qui s'y rattachent demeure très mystérieuse. Nous avons ainsi identifié trois objectifs principaux pour ce projet de recherche :

(1) étudier les filtrations d'Andreadakis/Johnson (et leurs variantes) sur ces groupes ;
(2) calculer l'homologie de ces groupes (stable et instable, avec coefficients ordinaires ou tordus) ;
(3) étudier de nouvelles représentations linéaires de ces groupes.

Bien sûr, énoncés ici en toute généralité, ces objectifs sont réputés difficiles. Néanmoins, nous croyons que toute avancée significative dans ces directions viendra dissiper le mystère règnant autour de la structure de ces groupes et, pour cela, nous mènerons les actions suivantes dont les méthodes oscilleront entre topologie algébrique et topologie quantique :

* faire un usage intensif des nouveaux invariants de type fini universels pour étudier les filtrations centrales sur les groupes de difféotopie ;
* utiliser la théorie des foncteurs polynomiaux, notamment pour l'étude des phénomènes de stabilité en homologie ;
* recourir à la catégorification pour corriger le défaut de fidélité de certaines représentations linéaires ;
* tirer parti des riches interactions entre diverses familles de groupes liées aux groupes de difféotopie des surfaces.