Noyaux reproduisants en Analyse et au-delà – REPKA

Notre projet consiste en plusieurs tâches en lien avec des problèmes clés de l'analyse complexe moderne, de la théorie des opérateurs et leurs applications à la théorie d'approximation, probabilité ou encore à la théorie du contrôle. Il est articulé autour du noyau reproduisant d'un espace de Hilbert de fonctions holomorphes. Les noyaux reproduisants sont des outils puissants dans de nombreuses applications comme les processus déterminantaux, la théorie du signal, les équations de Sturm-Liouville et de Schrödinger.

L’étude des noyaux reproduisants remonte aux travaux de Nevanlinna, Pick et Schur sur l'interpolation contrainte exacte. Depuis, ces noyaux et les techniques sous-jacentes ont montré leur force dans la résolution de nombreux problèmes fondamentaux tels que l'interpolation, l'unicité, l'échantillonnage ou encore les sous-espaces invariants (Carleson, Seip, Aleman-Richter-Sundberg etc.). Pour de récentes applications des techniques des espaces de Bergman, Fock et Paley-Wiener, citons par exemple les travaux de Gutman-Tsukamoto sur le plongement minimal de systèmes dynamiques (utilisant l’échantillonnage dans l’espace de Paley-Wiener), de Bufetov-Qiu-Shamov sur les processus déterminantaux (systèmes complets minimaux de noyaux reproduisants dans les espaces de Paley-Wiener et de Fock), et la résolution d’un ancien problème de Newman-Shapiro par Belov-Borichev (sur les opérateurs de multiplication dans l’espace de Fock).

Le noyau reproduisant est ainsi le thème fédérateur de notre projet dont l'originalité réside dans le fait de réunir des experts internationalement reconnus en analyse harmonique et complexe en une et plusieurs variables, en théorie des opérateurs, ainsi qu'en mathématiques appliquées de l'INRIA et qui travailleront ensemble sur la base la plus large possible.

Les propriétés géométriques de familles de noyaux reproduisants (complétude, minimalité, base de Riesz, etc.) sont étroitement liées aux propriétés d'interpolation, d'échantillonnage et d'unicité dans les espaces de fonctions holomorphes centraux de l'analyse: Bergman, Fock, Paley-Wiener, de Branges. Nous considérerons ces propriétés aussi dans un cadre aléatoire, ce qui, même au niveau des applications, devrait fournir des informations nouvelles et importantes. Dans l’étude des processus déterminantaux induits par les noyaux reproduisants d’espaces de Bergman pondérés on s’intéresse plus particulièrement à la reconstruction des fonctions à partir de leurs valeurs sur un ensemble aléatoire de points, et à la description de mesures conditionnelles par rapport à des configurations données dans une partie de l’espace des phases.

L’étude des noyaux reproduisants dans les espaces de Hardy généralisés (situation non-holomorphe) permet de résoudre des équations aux dérivées partielles de conductivité en dimension 2 et ont des applications importantes (contours de plasma, physique thermonucléaire). Notre objectif est de mieux comprendre le noyau reproduisant dans ces espaces (en fonction de la régularité du coefficient de conductivité), et ensuite de l'appliquer aux problèmes ci-dessus.

L'interpolation, l'échantillonnage et l'unicité seront aussi étudiés dans un cadre banachique. Nous nous intéressons aux espaces de fonctions holomorphes que l'on rencontre en physique mathématique et plus précisément en lien avec les opérateurs de Schrödinger, Dirac, Pauli et des matrices de Jacobi. Il s'avère que dans certains problèmes de perturbations non auto-adjointes d'opérateurs auto-adjoints, l'étude du spectre discret se traduit par une condition de type Blaschke, ce qui permet d'obtenir des inégalités de type Lieb-Thirring. Les noyaux reproduisants apparaissent aussi dans le cadre des opérateurs de Toeplitz, Hankel et de composition (projection de type Riesz, transformée de Berezin). Cela nous amène à l’étude de la théorie spectrale des opérateurs de Toeplitz non-bornés sur l'espace de Bergman, et à celle des opérateurs de Hankel sur les espaces de Fock.