CE40 - Mathématiques, informatique théorique, automatique et traitement du signal

Ecoulements avec singularités : couches limites, filaments de vortex, interaction vague-structure – SingFlows

SingFlows

Singularités dans les écoulement : couches limites, filaments de vortex, interaction vagues-structure

Objectifs du projet

Le projet SingFlows vise à une meilleure compréhension de trois sujets issus de la dynamique des fluides: <br />1) la description des écoulements anisotropes, comme les couches limites ou les écoulements en eaux peu profondes. <br />2) La dynamique de tourbillons dans des fluides faiblement visqueux. <br />3) L'interaction entre les vagues et des structures fixes ou flottantes. <br />Ces sujets s'inscrivent dans différents contextes, mais ont des connexions profondes d'un point de vue mathématique. Dans les trois cas, les écoulements sont décrits par des équations d'Euler ou de Navier-Stokes, et leurs solutions présentent des singularités spatiales. Par exemple, la ligne de contact entre une vague et un objet flottant est au mieux Lipschitzienne. Les tourbillons dans des fluides parfaits sont modélisés par des masses de Dirac portées par des courbes. Dans le contexte de Navier-Stokes, ces filaments sont instantanément régularisés, mais ils exhibent une dépendance singulière en le nombre de Reynolds, comme par exemple dans les couches limites. Ces singularités ne peuvent être capturées numériquement par des calculs directs, trop coûteux. Il est nécessaire de développer des modèles réduits, qui gardent les caractéristiques principales des singularités et de leurs effets sur la dynamique globale de l'écoulement. Le but de SingFlows est de proposer des méthodes mathématiques innovantes, et des modèles réduits effectifs pour la simulation, afin d'améliorer la description de ces écoulements singuliers.

1. Développer des méthodes mathématiques nouvelles pour l'étude des solutions de faible régularité de modèles fluides.
2. Dériver par analyse asymptotique des modèles réduits pour des écoulements singuliers
3. Développer des codes numériques efficaces basés sur ces modèles simplifiés.

Les résultats principaux attendus sont :

1. Au delà du modèle classique de Prandtl, comprendre la stabilités des modèles dits de couches limites interactives.

2. Améliorer la modélisation de la friction pour les écoulements anisotropes.

3. Décrire l'interaction de tourbillons dans des fluides faiblement visqueux:
- la dynamique d'un filament seul
- l'interaction à plusieurs filaments
- l'interaction avec des bords matériels
- l'interaction avec un cisaillement

4. Comprendre la formation de singularités dans des structures tourbillonnaires via des dynamiques réduites:
- lignes de tourbillon polygonales
- Interaction de plusieurs tourbillons

5. Modéliser et analyser l'interaction vagues-structure
- Compréhension théorique de la ligne de contact
- Effets régularisants de la viscosité

Nous espérons donner une base rigoureuse à l'utilisation de modèles de couches limites interactives. Le but est de créer une passerelle entre la communauté mathématique et la communauté ingénierie, qui a utilisé avec succès ces modèles dans des codes numériques.

Nous souhaitons améliorer la modélisation de la friction dans des écoulements en eaux peu profondes ou tuyaux, à partir de ces modèles. Cela constituerait un progrès significatif, la plupart des lois de friction couramment utilisées reposant sur une base largement empirique. Une perspective très stimulante, mais sans doute à long terme, est de dériver une loi de friction simple, en terme de la hauteur d'eau et de la vitesse moyenne, et de l'incorporer au modèle de Saint-Venant. Une avancée majeure serait de donner ainsi une fondation aux lois usuelles de type chézy ou Manning.

Concernant la dynamique de tourbillons, nous espérons des progrès significatifs dans au moins deux directions : la dérivation rigoureuse de la loi du flot binormal, ainsi que la description des interactions tourbillons/bords.

Un autre espoir à long terme est la compréhension fine de l'interaction vague-structure, avec pour jalons des progrès dans l'analyse de modèles plus simples, mais déjà pertinents : modèles mixtes compressibles/incompressibles (écoulements avec congestion), modèles hyperboliques avec perturbations dispersives.

Au delà d'une production scientifique écrite, une ambition du projet SingFlows est d'apporter un plus applicatif. Nos activités autour de l'interaction vagues-structure s'y prêtent particulèrement. Elles bénéficient d'une interaction à l'échelle européenne avec des spécialistes de l'énergie marine, à travers une collaboration avec le consortium du projet MIDWEST OceanERANET. Une autre collaboration a été initiée avec l'agence de transfert technologique Tecnalia.

Le but du projet SingFlows est de développer des méthodes mathématiques et numériques pour l'analyse de trois problèmes en mécanique des fluides :
la dynamique des écoulements anisotropes (couches limites, eaux peu profondes), la dynamique de structures tourbillonnaires, et l'évolution de structures flottantes sous l'action des vagues. Notre souhait d'aborder ensemble ces différents problèmes vient de leurs nombreux liens mathématiques.

Le point clé est qu’ils font tous intervenir des solutions singulières des équations d’Euler ou de Navier-Stokes. Le mot « singulier » renvoie ici:
- soit à un manque de régularité: c’est le cas pour les filaments tourbillonnaires, qui sont des mesures de Dirac le long de courbes, ou encore pour la ligne de contact entre l’eau, l’air et la structure flottante.
- soit à une dépendance singulière de la solution vis-à-vis d’un paramètre, typiquement le nombre de Reynolds (par exemple dans les couches limites).
Le passage d’un point de vue à l’autre se fait par régularisation de la structure irrégulière, ou a contrario en considérant une limite asymptotique du paramètre.

Plus généralement, les trois problèmes considérés au sein de SingFlows mettent en jeu de petites échelles. Une description adéquate requiert alors la dérivation de modèles réduits.

Au-delà de ces enjeux mathématiques communs, qui sont au centre de notre projet, les problèmes étudiés au sein de SingFlows on un enjeu applicatif. Ils ont des implications concrètes (pour les écoulements de rivières, la circulation sanguine, l’usure de structures flottantes), et leur analyse quantitative requiert des simulations numériques, ainsi qu’une connaissance des jeux de données pertinents. C’est pourquoi le projet SingFlows est basé sur une équipe de 25 personnes aux profils complémentaires, présentant une expertise en équations aux dérivées partielles, en analyse numérique, calcul scientifique et mécanique des fluides. Cette équipe a des liens déjà établis, qui faciliteront l’implémentation des différentes tâches du projet. Cette implémentation suivra un calendrier précis, avec une identification d’objectifs à court, moyen et long terme. Une attention particulière sera portée à la dissémination de nos résultats, aussi bien vers des spécialistes internationaux que vers le grand public.

Plusieurs résultats phares sont envisagés, parmi lesquels,
- une description améliorée des lois de friction en eaux peu profondes
- la justification du flot binormal en tant qu’approximation de la dynamique d’un filament tourbillonnaire
- le développement de codes numériques stables et rapides pour la simulation de l’interaction vagues/structure solide.

Coordinateur du projet

Monsieur David Gerard-Varet (Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IF Institut Fourier
IMB Institut de mathématiques de Bordeaux
IMJ-PRG Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

Aide de l'ANR 263 628 euros
Début et durée du projet scientifique : janvier 2019 - 48 Mois

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