Représentations, systèmes dynamiques et pavages – EST

Dans la vie de tous les jours, nous éprouvons le besoin de représenter
des nombres. Outre l'omniprésent développement décimal, nous utilisons
non seulement les bases 2, 8 et 16, mais également le développement
binaire avec signe (c'est-à-dire, en rajoutant le chiffre -1), la
représentation de Zeckendorf et les fractions continues.
Comprendre l'unicité de la représentation, comment réaliser des opérations
mathématiques et effectuer des approximations est nécessaire
afin d'utiliser efficacement ces autres façons de représenter les nombres.
Dans le présent projet, nous considérons ces représentations sous
différents points de vue.
Tout système de numération positionnel décrit une structure additive et, par
conséquent, toute structure multiplicative comme les nombres premiers
devrait se comporter comme une structure aléatoire. En particulier, les chiffres
des nombres premiers ou des valeurs des polynômes doivent être
équirépartis. La représentation de Zeckendorf
est un exemple emblématique d'une classe très étendue de systèmes de
numération obtenus par des récurrences linéaires.
chacun de ces systèmes est lié à un développement en base
bêta, où bêta est la racine dominante du
polynôme caractéristique de la récurrence linéaire.
De nombreuses propriétés de ces systèmes de numération ont leur pendant
pour les développements en base
bêta et vice versa. Une partie du
présent projet est consacrée à l'étude de ces correspondances.
Le premier objectif est la construction de suites multidimensionnelles à
faible discrépance (appelées suites de Halton) définies sur des systèmes de
numération obtenus par des récurrences linéaires.
La transformation sous-jacente est ergodique et, pour la mesure
invariante, nous devons vérifier si les orbites des extrémités droite et
gauche de l'intervalle fondamental coïncident après un certain nombre
d'itérations. Un outil très utile pour cette analyse
est le fractal de Rauzy associé au système de numération.
Pour le troisième objectif, nous envisageons d'étudier les
éléments irréductibles et leur distribution dans le fractal de Rauzy.
Cela requiert une analyse fine de l'anneau des entiers correspondant.
Le quatrième objectif est l'étude de la répartition des chiffres des
nombres premiers dans des systèmes de numérations obtenus
par des récurrences linéaires. Pour ce faire, nous avons besoin
de combiner des méthodes analytiques et ergodiques.
Dans une deuxième partie, nous étudions une autre façon de représenter les
nombres réels, le développement en fraction continue. Dans le cas classique,
celui-ci nous donne les meilleures approximations rationnelles des
nombres réels. Une extension multidimensionnelle a fait l'objet de recherches
intensives depuis plus d'un siècle, mais aucun algorithme vraiment satisfaisant
n'a pour l'instant été trouvé.
L'objectif cinq consiste en l'étude de l'algorithme de fractions continues
défini par Hurwitz et de ses propriétés d'approximation pour les
nombres complexes. Le dernier objectif concerne
l'approximation diophantienne multidimensionnelle et les vecteurs
minimaux. L'approximation diophantienne et les développements en fractions
continues jouent un rôle central pour l'estimation de la discrépance
des suites (n-alpha) et établissent ainsi un lien entre le dernier et le
premier objectif, fermant ainsi le cercle de nos recherches.