Optimisation de forme – SHAPO

Le présent projet s'inscrit dans le domaine de l'optimisation de forme, qui consiste en l'étude de problèmes d'optimisation dont l'inconnue est un domaine, et qui prend son origine dans les domaines appliqués comme la physique, la biologie, et l'ingénierie.

Nous proposons de traiter quatre objectifs principaux, dont la visée commune consiste à réduire l'écart entre les modèles académiques qui ont été développés (notamment par plusieurs membres du projet) dans les dernières années, et les modèles plus réalistes, dont plusieurs caractéristiques ont été écartées jusqu'à présent :
- le premier objectif s'intéresse à la fonctionnelle d'énergie elle-même, dont les versions académiques ont souvent été réduites à l'étude du Laplacien avec condition de Dirichlet, dont l'étude s'est avérée très riche, mais qui amène à des hypothèses simplificatrices. Nous souhaitons confronter les questions habituelles de l'optimisation (étude des symétries, théories d'existence et de régularité) à des énergies plus réalistes, par exemple avec des opérateurs driftés ou non-locaux, ou en vue des applications industrielles, avec des fonctionnelles qui prennent en compte des termes modélisant l'incertitude des données et des procédés de construction.
- le second point se focalise sur les contraintes mises sur les formes admissibles ; d'un point de vue académique, on peut citer la connexité, la convexité, le diamètre, qui amènent des difficultés dans l'analyse des conditions d'optimalité (non-localité, non-différentiabilité) ainsi que dans leur traitement numérique. Du point de vue des applications, ces questions nous amènent naturellement au développement très actuel de la fabrication additive (aussi connue sous le nom d'"impression 3D"), dont le mode de fabrication couche par couche peut également être vu comme une contrainte non-locale.
- le troisième objectif consiste en le développement d'un axe de recherche essentiellement nouveau dans la communauté, et qui prend du recul par rapport à l'optimisation proprement dite. En effet, nous souhaitons développer une théorie de flot gradient pour les domaines, qui généraliserait le mouvement par courbure moyenne, qui peut être vu comme un flot gradient pour la fonctionnelle périmètre. Le lien avec l'optimisation de forme se trouve entre autres dans l'approche du schéma de Almgren-Taylor-Wang, et nous apporterons notre expertise des théories d'existence et de régularité en optimisation de forme pour pouvoir définir une telle théorie, avec comme nouvelle spécificité la nécessité d'analyser l'apparition de singularités au cours du flot.
- le dernier objectif est transverse à l'ensemble du projet, et consistera en la résolution numérique des problèmes liés aux objectifs précédents. Ces nouveaux modèles vont apporter des difficultés numériques nouvelles que nous nous proposons de considérer. Nous voyons cet objectif de façon transverse car les problèmes considérés nécessiterons souvent une étude parallèle des aspects théoriques et numériques : par exemple, les résultats numériques nous permettront de mesurer le comportement des formes optimales en fonction des paramètres, et pourront suggérer des questions raisonnables du point de vue théorique. Aussi, nous envisageons d'attaquer certaines conjectures (conjecture de Polya sur l'inégalité de Faber-Krahn parmi les domaines polygonaux) par une approche hybride théorique-numérique.

Le projet se compose de 22 membres permanents (disséminés sur 4 centres et 10 laboratoires), auxquels s'ajoutent 10 doctorants/post-doctorants actuellement dirigés par les membres du projet et dont les sujets sont en lien direct avec les objectifs ci-dessus. Nous apportons des expertises variées (soit à travers différents aspects théoriques et numériques de l'optimisation de forme, soit sur des sujets annexes comme le calcul de variation, l'analyse non-lisse, le contrôle optimal...) afin d'apporter à la fois une base solide dans le domaine, et des méthodes et idées nouvelles.