CE40 - Mathématiques, informatique théorique, automatique et traitement du signal

Méthode de Stein et Analyse – MESA

Méthode de Stein et Analyse

Estimer des distances entre mesures de probabilités est un problème qui surgit dans de nombreux domaines des sciences (physique, informatique, biologie,...), afin de quantifier à quel point un phénomène étudié est bien approximé par un modèle stochastique donné. La méthode de Stein est un ensemble de techniques utilisées pour estimer ces distances, via des formules d'intégration par parties bien choisies.

Enjeux et objectifs

Ce projet a pour but d'utiliser des techniques d'analyse mathématique (équations aux dérivées partielles, méthodes variationnelles, transport optimal, analyse fonctionnelle) pour développer de nouveaux outils et applications. Les champs d'application que nous allons explorer incluent les statistiques, la théorie des matrices aléatoires et les probabilités libres, les processus stochastiques, la géométrie en grande dimension, la physique statistique et les algorithmes de type Markov Chain Monte Carlo.

L'approche méthodologique considérée consiste à importer des outils et techniques de l'analyse mathématique (calcul des variations, EDP, analyse fonctionnelle) dans le contexte de la méthode de Stein.

Les résultats obtenus jusqu'à présent incluent le développement des noyaux de Stein d'ordre supérieur (existence, inégalités fonctionnelles, vitesse de convergence améliorée dans le TCL), l'existence de noyaux de Stein libre, de nouveaux résultats de stabilité pour les inégalités fonctionnelles gaussiennes, une preuve de l'efficacité de l'estimateur du shrinkage dans un cadre non-gaussien, et des vitesses de convergence pour els grandes matrices aléatoires à blocs échangeables.

Les travaux en cours incluent l'extension des méthodes pour les inégalités fonctionnelles dans un cadre géométrique, de nouveaux TCL libres quantitatifs pour les variables avec symmétries, et le développement de nouveaux tests d'adéquations pour les échantillons aléatoires.

Les membres du projet ont actuellement publiés 9 articles dans des revues internationales depuis le lancement, et 14 pré-publictaions ont été soumises.

Estimer des distances entre mesures de probabilités est un problème qui surgit dans de nombreux domaines des sciences (physique, informatique, biologie,...), afin de quantifier à quel point un phénomène étudié est bien approximé par un modèle stochastique donné. La méthode de Stein est un ensemble de techniques utilisées pour estimer ces distances, via des formules d'intégration par parties bien choisies. Depuis qu'elle a été introduite par C. Stein dans les années 70, elle a eu de nombreuses applications, dans des domaines tels que les théorèmes centraux limites quantitatifs, la physique statistique et la combinatoire.

Ce projet a pour but d'utiliser des techniques d'analyse mathématique (équations aux dérivées partielles, méthodes variationnelles, transport optimal, analyse fonctionnelle) pour développer de nouveaux outils et applications. Les champs d'application que nous allons explorer incluent les statistiques, la théorie des matrices aléatoires et les probabilités libres, les processus stochastiques, la géométrie en grande dimension, la physique statistique et les algorithmes de type Markov Chain Monte Carlo.

Coordination du projet

Max Fathi (Laboratoire Jacques-Louis Lions)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IMT Institut de Mathématiques de Toulouse
LJLL Laboratoire Jacques-Louis Lions

Aide de l'ANR 135 564 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2018 - 36 Mois

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