Contraintes de Courbure et Espace des Métriques – CCEM

Un problème fondamental en géométrie riemannienne est de comprendre des `espaces de métriques’ définis par des conditions portant sur certaines données géométriques, notamment diverses notions de courbure. Il peut s’agir selon le cas d’un ensemble de métriques riemanniennes sur une variété fixée ou d’une classe de variétés riemanniennes. Ces `espaces’ peuvent être munis de topologies comme par exemple celle de Gromov-Hausdorff. Lorsqu’il n’y a pas compacité, il est naturel de chercher à compléter ces espaces en introduisant des métriques singulières, un exemple simple étant celui d’un cône dans l’espace euclidien, obtenu comme limite de surfaces lisses dont la courbure de Gauss n’est pas majorée. Cela conduit à introduire diverses classes d’espaces métriques singuliers, certaines anciennes comme les espaces d’Alexandrov autour des années 50 - des espaces géodésiques où la notion de courbure s’exprime par comparaison de leurs triangles avec des triangles modèles - les espaces de Cheeger-Colding et plus récemment les espaces de Lott-Villani/Sturm et Gigli-Ambrosio-Savaré. Ces espaces sont étudiés en lien avec les variétés riemanniennes lisses, mais aussi pour eux-mêmes.
Dans ce projet nous étudierons plusieurs types de questions : contraintes topologiques impliquées par les hypothèses sur la courbure, existence et/ou unicité d’une « meilleure métrique » dans une classe donnée, type d’homotopie d’un espace de métriques. Ces problématiques sont fortement liées à l’étude des flots géométriques, notamment le flot par la courbure de Ricci et le flot par la courbure moyenne, et ce de plusieurs façons. D’une part, la notion de convergence au sens de Gromov-Hausdorff permet de donner un sens au flot de Ricci pour des conditions initiales non-lisses, ce qui permet dans certains cas de lisser des espaces singuliers. D’autre part, l'étude des singularités de ces flots passe par des arguments de convergence via des théorèmes de compacité et la technique du blow-up. Ce contrôle des singularités est à la base de la construction de solutions modifiées par chirurgie. Dans le cas du flot de Ricci, cette construction est au coeur de la preuve par Perelman de la Conjecture de Géométrisation. Elle a également permis à Marques et Bessières-Besson-Maillot-Marques de démontrer des résultats de connexité d’espaces de métriques à courbure scalaire positive. Nous espérons développer des techniques similaires pour les surfaces plongées dans les variétés de dimension 3 via le flot de la courbure moyenne.
Une partie importante du projet consiste à étudier une classe particulière d’espaces métriques singuliers : les espaces stratifiés munis de métriques de type conique itérées. Cette classe est assez large et permet de tester nos connaissances et nos questionnements afin d’améliorer  notre compréhension des  espaces plus généraux mentionnées plus haut. Nous proposons par exemple de démontrer que la métrique stratifiée à courbure constante sur les fameux exemples de Gromov-Thurston est l’unique métrique d’Einstein sur ces variétés alors que l’on pensait jusqu’ici que celles ci pouvaient se régulariser en une métrique d’Einstein lisse. Cela permettrait d’éclairer et d’élargir une question posée il y a 30 ans par Besse dans le livre Einstein Manifolds : «  Are manifolds admitting an Einstein metric rather scarce or numerous? » 
Dans un autre volet du projet nous espérons étendre la théorie des espaces à courbure de Ricci bornée, dûe à Cheeger, Colding, Naber et leurs collaborateurs, à des hypothèses plus faibles portant sur la courbure scalaire ou des intégrales de courbure. Nous envisageons également de remplacer la courbure par des quantités plus globales comme l’entropie, qui a déjà permis à Besson-Courtois-Gallot-Sambusetti d’obtenir des résultats frappants en courbure négative.