Frontières numériques et couplages – Nabuco

Le projet NABUCO vise à étudier l'influence des conditions aux limites pour des phénomènes de transport ou dispersifs. Il est motivé par la modélisation de processus physiques dans lesquels la propagation des ondes est régie principalement par la dispersion, celle-ci provenant soit des équations sous-jacentes, soit de la méthode de discrétisation mise en œuvre, et par des mécanismes non-linéaires de type déferlement. Les équations étudiées comprennent tout un spectre de modèles allant des modèles `jouets' comme les équations de transport, de Schrödinger ou Airy, jusqu'aux modèles non-linéaires complexes comme les systèmes d'Euler-Korteweg, Boussinesq, Green-Naghdi ou encore le système complet des ondes gravitationnelles à la surface de l'eau ("water waves"). Les principales applications que nous visons concernent l'océanographie côtière, c'est-à-dire les modèles de vagues à la surface de l'eau dans le régime asymptotique faiblement -ou même totalement- non-linéaire en eaux peu profondes. Le programme de travail sera étendu autant que faire se peut à des équations dispersives plus générales.

L'étude des conditions aux limites et de leur influence apparait dans de nombreux contextes. La modélisation peut faire intervenir des bords `fixes' (de type parois, extrémités d'entrée ou de sortie dans une tuyère, fond de l'océan dans la modélisation des vagues), des bords `artificiels' introduits dans l'optique de réaliser des simulations numériques, ou bien encore des frontières `libres' comme cela apparait dans la modélisation des fluides compressibles (par exemple les ondes de choc), ou des fluides incompressibles soumis à la gravité. Les frontières fixes ou libres interviennent également dans les problématiques de couplages de modèles.

Le projet NABUCO est principalement de nature `numérique'. Il vise à étudier l'influence des conditions aux limites sur les schémas numériques avec pour objectif de construire des implémentations précises, quoique efficaces du point de vue coût de calcul, de conditions aux limites numériques transparentes/absorbantes/de transmission, spécifiquement pour les simulations en océanographie. Dans cette optique, un des objectifs principaux est d'améliorer la fiabilité des modèles numériques prédisant des évènements extrêmes comme les tsunamis ou les ouragans. Le programme de travail repose sur une analyse approfondie des problèmes de stabilité pour les conditions aux limites numériques intervenant dans la discrétisation des équations dispersives ou de transport, ce qui permettra de donner une base solide à la construction et l'implémentation de conditions aux limites numériques précises et robustes dans des codes numériques.

Les objectifs scientifiques du projet s'organisent ainsi autour de trois grands axes : (i) l'analyse et l'implémentation de conditions aux limites numériques transparentes ou artificielles pour des systèmes dispersifs multidimensionnels avec petits paramètres, (ii) une analyse unifiée des conditions aux limites pour des systèmes dispersifs continus ou discrétisés posés sur un domaine fixe, (iii) le couplage de modèles hyperboliques et dispersifs en océanographie côtière. Les participants regroupent des compétences allant de la modélisation jusqu'à l'implémentation numérique en passant par l'analyse des équations aux dérivées partielles et des schémas numériques.