Dynamique des systèmes quantiques relativistes – DYRAQ

Ce projet a pour but l'étude de la dynamique de systèmes quantiques relativistes en interaction. Nous énonçons ce problème dans le cadre des équations aux dérivées partielles (EDPs) d'évolution. Les questions générales que nous aborderons seront celles de la dérivation et de l'étude d'équations effectives dans divers régimes asymptotiques, dans le but d'obtenir une description plus simple de phénomènes physiques complexes.

Nous modélisons les systèmes relativistes par l'utilisation de l'opérateur de Dirac. À la différence de son pendant non relativiste, l'opérateur de Dirac est un opérateur différentiel d'ordre un à coefficients matriciels, associé à une fonctionnelle d'énergie indéfinie. De plus, nous considérons des problèmes comportant des interactions modélisées par le couplage d'une équation de Dirac avec d'autres équations d'évolution, ou bien par une non-linéarité dans l'équation de Dirac. Ces éléments compliquent significativement l'analyse du caractère bien-posé, du comportement en temps long de ces équations, ainsi que l'obtention d'estimées précises en les paramètres du problème.

Les deux principaux thèmes du projet sont l'analyse d'équations de Dirac dépendantes du temps non linéaires/couplées, et l'étude de la mer de Dirac. Dans le premier thème, plusieurs régimes asymptotiques seront considérés afin de dériver des équations effectives plus simples. Nous étudierons certaines propriétés dynamiques de ces équations effectives (caractère bien-posé, solutions stationnaires et leur stabilité), et les résultats obtenus nous permettront d'améliorer notre compréhension des équations originales. Dans le second thème, une étape supplémentaire dans la modélisation des systèmes quantiques relativistes sera franchie en tenant compte de la mer de Dirac. L'analyse des propriétés dynamiques de la mer de Dirac revient à considérer un système quantique avec une infinité de particules (et une énergie infinie). Ceci permet d'obtenir une description plus proche de la théorie quantique des champs relativiste, dans laquelle le vide est un milieu polarisable (la mer de Dirac). D'un point de vue mathématique, nous étudions des équations aux dérivées partielles (EDPs) dont l'inconnue est un opérateur plutôt qu'une fonction d'onde. Dans les deux thèmes, une attention particulière sera dévolue à la dérivation d'équations effectives plus simples rendant compte des propriétés physiques complexes de ces systèmes. Là où le premier thème peut être relié à beaucoup de travaux existants sur des sujets d'EDPs connexes, le second thème a été moins abordé dans la littérature et constitue donc un sujet de recherche nouveau et porteur.

En utilisant les bases rigoureuses de l'analyse d'équations aux dérivées partielles et de la théorie spectrale, nous visons à développer des méthodes originales pour améliorer la connaissance théorique des systèmes quantiques relativistes et de leur analyse asymptotique. À travers un découpage précis de chaque thème en tâches différentes, nous répondrons à des questions sur le comportement des systèmes relativistes qui sont pertinentes à la fois d'un point de vue mathématique que physique.

Le porteur du projet sera accompagné d'une équipe de jeunes collaborateurs possédant différents points de vue et de solides connaissances communes au sujet des systèmes quantiques relativistes.