Catégorification en géométrie algébrique – CatAG

La géométrie algébrique dérivée a pris naissance dans la fameuse formule d'intersection de Serre dans les années 50. Cette formule calcule un nombre d'intersection comme une somme alternée des dimensions des Tor supérieurs des faisceaux structuraux de deux sous-variétés algébriques. Au début des années 90, Kontsevich a développé cette idée en utilisant les quasi-variétés et les classes fondamentales virtuelles sur l'espace des modules des applications stables pour mener à bien des calculs de géométrie énumérative. La théorie des quasi-variétés et des classes virtuelles se sont développées de façon parallèle à la fin des années 90. D'un coté, Kapranov et Ciocan-Fontanine ont introduit la notion de dg-schémas qui devrait formaliser la notion de quasi-variété. D'un autre coté, Behrend et Fantechi ont défini la classe fondamental virtuelle de façon très générale en utilisant la théorie de l'obstruction. Ces deux approches manquent de fonctorialité et ceci implique des complications techniques inutiles et parfois même des constructions assez peu calculatoire. Ceci a poussé au développement de nouvelles fondation pour le sujet. La version moderne est appelée "géométrie algébrique dérivée" et elle a été construite par Toën-Vezzosi dans [HAG1] et [HAG2] et par la suite par Lurie. Ils ont défini la notion de n-champ d'Artin dérivé, qui généralise les notions de champ algébrique au sens d'Artin, les champs algébriques supérieurs au sens de Simpson et des dg-schémas de Kapranov et Ciocan-Fontanine. Ces fondation sont basées sur l'algèbre homotopique et les catégories supérieures ce qui rend le sujet très flexible et donne beaucoup d'exemples. La géométrie algébrique dérivée s'est développée très rapidement ces dernières années grâce aux travaux de beaucoup de mathématiciens : Pantev, Toën, Vaquié, Vezzosi, Lurie, Francis, Gaitsgory, Rozenblyum, Preygel, Ben-Zvi, Nadler, Brav, Bussi, Joyce, Costello, Ginot, Calaque,Bhatt, Schuerg, Robalo. Tous ces développements récents ont fait que la géométrie algébriques dérivée est aujourd’hui un sujet central avec des fondations solides et qui a des interactions avec beaucoup de sujets en mathématiques, par exemple: la théorie des singularités (factorisation matricielle), la théorie des représentation (algèbre de Hall pour les catégories dérivées), théorie des représentation géométrique (programme de Langlands géométriques), la géométrie symplectique (géométrie symplectique décalée, catégories de Fukaya), quantification par déformation (théorème de formalité via la géométrie algébrique dérivée), théorie de l'homotopie stable (forme modulaire topologique), motifs (motifs non-commutatifs via les dg catégories), théorie de Hodge padic (théorie de de Rahm dérivée), théorie des espaces de modules (espace des modules d'objets sur une variété de Calabi-Yau de dimension 3), algèbre homologique (homologie d'Hoschild, conjecture de Deligne), géométrie énumérative (invariants de Gromov-Witten et de Donaldson-Thomas).

Ce projet regroupe des mathématiciens de niveaux internationaux de domaines reliés à la géométrie algébrique dérivée dont un intérêt commun est la catégorification dans diverses sujets. Rappelons que la catégorification a donnée des résultats spectaculaires en topologie de basse dimension et en théorie des représentations et elle est aujourd'hui un sujet à part entière. Nous avons identifié deux directions: la théorie de Gromov-Witten et la quantification. Nous sommes convaincus que l'expertise des membres et les techniques de géométrie algébrique dérivée nous permettront de résoudre des problèmes ouverts importants.