Familles de fonctions L: analyse, interactions, résultats effectifs – FLAIR

Les fonctions L sont des objets omniprésents en théorie des nombres et en géométrie arithmétique. Ce sont des fonctions de nature analytique, algébrique ou combinatoire. Récemment des formalisations de ce qu'est une ''bonne'' famille de fonctions L ont été proposées. De telles familles apparaissent naturellement dans des domaines variés et très actifs de la recherche actuelle: mentionnons la théorie des formes automorphes et les représentations d'Artin, les modules de Drinfeld, les variétés abéliennes sur des corps globaux, le biais dans la distribution de suites indexées par des nombres premiers ou plus généralement par des places finies de corps globaux...
Le projet FLAIR propose une étude systématique, sur les plans théoriques et algorithmiques, de familles de fonctions L. L'objectif principal est de réunir des experts de théorie des nombres et de géométrie arithmétique, ainsi que de leur pendant algorithmique et de faire en sorte qu'ils puissent interagir et explorer davantage la richesse des informations encodées par les fonctions L.

En mettant l'accent sur le rôle unificateur des fonctions L, le projet se veut particulièrement ambitieux. Au-delà du travail de ses membres dans leurs propres champs d'expertise dans lesquels des fonctions L apparaissent naturellement, nous proposons la synthèse de points de vue complémentaires issus d'approches techniquement très différentes (approche analytique classique, approche via les fonctions L d'Artin sous l'impulsion entre autres du programme de Langlands, approche provenant de la géométrie arithmétique moderne suivant les conjectures de Weil et les travaux fondateurs de Grothendieck, Deligne et leurs collaborateurs). Le développement systématique de la notion naissante de bonne famille de fonctions L nous permettra de transposer les techniques analytiques classiques de calculs en moyenne, qui ont déjà conduit à des progrès spectaculaires dans nombre de problèmes concrets de nature arithmétique, géométrique ou analytique, à d'autres situations où des familles de fonctions L apparaissent.

Un des aspects originaux de notre initiative réside dans l'interaction constante des considérations théoriques avec les aspects numériques et algorithmiques des diverses familles de fonctions L que nous proposons d'étudier. Les systèmes de calcul formel
ont connu ces dernières années un développement et des améliorations remaquables. Ils sont plus que jamais des outils précieux pour tester des hypothèses, suggérer des heuristiques, et fournir à la communauté un moyen facile, puissant, et effectif pour l'activité quotidienne du chercheur en mathématiques. Le projet FLAIR s'adosse à la longue tradition bordelaise d'excellence et d'expertise dans les aspects algorithmiques de la théorie des nombres.

En conséquence des progrès spectaculaires récents dans l'étude en moyenne de problèmes arithmétiques et de familles de fonctions L, ainsi que de l'activité qui ne cesse de croître en théorie algorithmique des nombres, cette période nous semble particulièrement propice au lancement du projet FLAIR.