Universalité pour les domaines nodaux aléatoires – UNIRANDOM

Les ensembles nodaux, i.e. les lieux d'annulation des fonctions, sont des objets centraux en mathématique. Comprendre les propriétés d'un ensemble nodal déterministe quelconque est généralement hors de portée, comme l'attestent de nombreux problèmes ouverts comme le seizième problème de Hilbert ou encore la conjecture de Yau. Pour comprendre la nature d'un objet typique, on est alors souvent amené à randomiser, ce qui revient ici à considérer les ensembles nodaux associés à des fonctions aléatoires. La détermination des moyennes, des variances ou encore des fluctuations des observables nodaux, en particulier leur comportement asymptotique quand la quantité de bruit tend vers l'infini, constituent alors une source d'information considérable sur les comportements possibles dans le cas purement déterministe. Par ailleurs, notons que le fait de considérer des ensembles nodaux aléatoires est aussi fortement motivé par des considérations de physique théorique, comme la conjecture de Berry.

Dans ce cadre, le projet UNIRANDOM a pour objectif principal des résultats d'universalité, c'est-à-dire des résultats attestant le fait que certaines propriétés asymptotiques des ensembles nodaux sont les mêmes, quel que soit la nature de l'aléa mis en jeu pour les définir. E´tablir de telles propriétés permet de manipuler des quantités qui restent inaccessibles dans un cadre strictement déterministe.

Ce projet est articulé autour de quatre modèles principaux qui trouvent leurs origines dans différents domaines des mathématiques et de la physique, précisément : A. les ensembles nodaux associés aux fonctions propres aléatoires du Laplacien sur des variétés riemanniennes compactes génériques, B. les ondes arithmétiques aléatoires, C. les sous-variétés algébriques aléatoires, et D. les champs aléatoires périodiques généraux. Ce projet est donc intrinsèquement multidisciplinaire et rassemble cinq jeunes mathématicien(ne)s avec des profils variés, et un important bagage commun en théorie des probabilités. Ce projet est particulièrement ambitieux et novateur puisque la question de l'universalité, bien comprise en dimension un, est pour l'heure largement inexplorée en dimension supérieure.

Le coût global estimé du projet est de 115000 euros avec la répartition suivante : 35% du budget sera consacré aux missions/voyages/invitations, 35% à l'organisation de quatre groupes de travail et une conférence internationale. Environ 20% du budget financera des décharges d'enseignement pour les membres permanents de l'équipe, leur permettant ainsi de se concentrer pleinement sur ce projet. Enfin, le reste du budget, soit environ 8000 euros, servira à couvrir les dépenses en matériel informatique, livres et autres, ainsi que les frais de gestion administrative.

La principale retombée de ce projet sera une meilleure compréhension des phénomènes d'universalité concernant les domaines nodaux aléatoires qui sont à l'interface de la théorie des probabilités, de la géométrie différentielle et algébrique et de l'analyse. Les progrès obtenus seront matérialisés par des publications dans des revues internationales à comité de lecture, des exposés lors de conférences ou séminaires de recherche, ainsi que par des travaux de vulgarisation à destination d'un public moins spécialisé. Enfin, ce projet permettra un renforcement des échanges entre les instituts hôtes des différents membres de l'équipe scientifique, ainsi qu'une meilleure visibilité sur le plan national et international.