Homotopie chromatique et K-théorie – ChroK

Ce projet se fonde sur les nouveaux développements de la topologie algébrique et vise des applications fondamentales en K-théorie algébrique et en homotopie chromatique. Ces avancées récentes, basées sur les structures supérieures et les méthodes fonctorielles, ont un potentiel énorme. Elles ont permis la résolution de problèmes profonds (tels celui sur l'invariant de Kervaire, ou l'hypothèse du cobordisme) et l'introduction de nouvelles théories révélant des liens fascinants entre la géométrie et des questions arithmétiques profondes en géométrie algébrique.

Les travaux fondamentaux d'Adams et de Quillen ont mis à jour des relations très riches entre la géométrie, la théorie de l'homotopie et l'arithmétique; l'étude de l'image de l'homomorphisme J a permis le développement de l'homotopie chromatique, et Quillen a introduit la K-théorie algébrique supérieure. Les conjectures de Lichtenbaum-Quillen, et leur généralisation par Waldhausen, ont clairement établi que la K-théorie algébrique et la théorie de l'homotopie chromatique sont intimement liées. Les spectres en anneaux ont été introduits en homotopie stable pour étudier les théories de cohomologie multiplicatives. Leurs versions rigides (les anneaux hautement structurés) et l'Algèbre Supérieure de Lurie offrent une généralisation à fort potentiel des anneaux, et placent l'homotopie stable au coeur de la géométrie algébrique dérivée.

Le projet s'articule sur les thèmes suivants, en forte interaction:

1. La théorie de l'homotopie chromatique stratifie la catégorie homotopique stable, d'une immense complexité, en la localisant d'abord en un premier p, puis en niveaux chromatiques indexés par les entiers naturels et associés aux localisations par rapport aux K-théories de Morava. Il y a ici des liens profonds avec les groupes formels et l'arithmétique, par exemple les formes modulaires. L'algèbre supérieure est un ingrédient essentiel, via entre autres les groupes de Picard.

2. La K-théorie algébrique des anneaux hautement structurés permet d'interpoler entre la K-théorie de Quillen des anneaux et la A-théorie des espaces de Waldhausen, et révèle des interactions profondes entre l'arithmétique, la géométrie algébrique et la topologie. Les conjectures du red-shift, au centre de ce projet, visent à décrire cette interpolation à l'aide de l'homotopie chromatique.
L'algèbre supérieure codifie les structures algébriques aux conditions de cohérence relachées à l'aide des catégories supérieures. Elle offre un cadre idéal pour l'étude des espaces de lacets et leur homologie équivariante, pour les généralisations de l'homologie de Hochschild, comme l'homologie de factorisation, ou la K-théorie algébrique itérée.

3. Les méthodes fonctorielles, comme par exemple le calcul de Goodwillie, fournissent un outil très puissant en topologie algébrique et en algèbre modernes. La cohomologie des foncteurs évalue la cohomologie des petites catégories à coefficients dans les (bi)foncteurs, et est reliée via l'homologie de Mac Lane à l'homologie de Hochschild topologique et aux traces pour la K-théorie algébrique. C'est un outil puissant pour l'étude de la stabilité en homologie de familles de groupes, ou pour des calculs explicites de la cohomologie des schémas en groupes réductifs. Une famille à étudier est celle des sous-groupes de congruences, liée à des questions d'excision en K-théorie algébrique.

Le consortium réunit des experts aux compétences complémentaires, de brillants jeunes chercheurs et des étudiants, devant permettre des progrès rapides. Le projet stimulera les collaborations internationales, plaçant l'école française de topologie algébrique à la pointe de la recherche.