Géométrie sous-Riemannienne et Interactions – SRGI

Les structures sous-Riemanniennes sont un modèle mathématique important pour de nombreux problèmes dans lesquels il y a des contraintes non-holonomes. Depuis quelques années, on assiste à un impressionnant regain d'intérêt dans la géométrie sous-Riemannienne (SR) et à de nombreuses interactions émergentes. La géométrie SR est bien entendu intéressante pour elle-même, et soulève de nombreux challenges mathématiques fascinants, comme l'étude des noyaux de la chaleur SR, les diffusions hypoelliptiques, les volumes et singularités. Mais la géométrie SR a aussi un large potentiel d'interactions. Un champ classique (on pourrait dire, historique) d'interactions est la robotique et la planification de mouvement, en lien avec la théorie du contrôle géométrique, mais dans les dernières années, la géométrie SR s'est avérée fort pertinente dans de nouveaux domaines, avec fort impact, comme le transport optimal, la reconstruction d'image et la géométrie de la vision, ou encore plus récemment, la physique quantique et l'analyse de formes.

L'étude de diffusion de la chaleur en géométrie Riemannienne a été fortement développée à la fois du point de vue probabiliste (mouvements Browniens, mesures de Wiener) et pour l'étude de problèmes spectraux directs et inverses (célèbre problème de Kac ``can one hear the shape of a drum?'', formule asymptotique de Weyl). L'étude correspondante dans le cas SR (Laplaciens SR) est à la fois incomplète et importante pour les applications. En généralisant la définition de l'opérateur de Laplace-Beltrami en géométrie Riemannienne, les Laplaciens SR sont définis comme la divergence (pour une mesure) du gradient horizontal (pour une métrique SR).
Un domaine d'intérêt pour plusieurs communautés des mathématiques concerne l'étude de l'asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur SR, avec de nombreuses pistes intéressantes à étudier: loi locale de Weyl et ergodicité quantique dans le contexte SR, étude des mesures de Weyl, propagation des singularités pour des équations d'ondes SR et impact des géodésiques anormales, problèmes spectraux inverses et identification de nouveaux invariants spectraux.
Cela constitue la Task 1 de notre projet.

Les Laplaciens SR dépendent du choix de la mesure, et en géométrie SR il existe plusieurs choix intrinsèques possibles, comme les volumes de Hausdorff ou de Popp. La régularité de ces volumes, l'un par rapport à l'autre, soulève des questions étonnamment difficiles, en particulier aux singularités de la distribution horizontale de la structure SR. De telles singularités produisent des phénomènes de barrière pour les flots SR de la chaleur ou de Schrodinger. La (nouvelle) notion de courbure SR semble être liée à des invariants spectraux que nous voulons identifier. Le cas des groupes de Carnot est d'un intéret particulier. Nous voulons aussi étudier le concept d'holonomie horizontale, qui est la version SR du groupe d'holonomie associé à une connexion.
Cela constitue la Task 2 de notre projet.

La Task 3 concerne des interactions de la géométrie SR avec d'autres champs.
La première concerne les problèmes de transport incluant des contraintes non-holonomes. Le problème d'existence et unicité d'une application de transport optimal est ouvert en général. Il est relié à des phénomènes de courbure sur des variétés SR et à des problèmes isopérimétriques dans ces espaces.
La seconde est que la géométrie SR (et en particulier, la diffusion hypoelliptique) fournit un cadre pertinent pour la géométrie de la vision, comme il a été découvert récemment. Cela est dû au fait que l'architecture des connexions dans le cortex visuel semble refléter une distribution de contact.
Finalement, encore plus récemment, la géométrie SR a émergé aussi en analyse de formes, où le filtrage par motif est effectué dans le groupe des difféomorphismes dits horizontaux, modélisant ainsi des problèmes d'analyse d'image dans lesquels les mouvements sont soumis à des contraintes non-holonomes.