Phénomènes de propagation et équations non locales – NONLOCAL

Nous utiliserons notamment les résultats récents obtenus par les membres du projet et les nouvelles perspectives qui ont émergé récemment. Nous voulons comprendre les propriétés dynamiques des solutions d'équations de réaction-diffusion non locales et les phénomènes de propagation dans des domaines non bornés. En particulier, les notions d'ondes généralisées introduites par les membres du projet représentent le bon cadre pour traiter d'autres modèles, faisant intervenir des phénomènes non locaux. Pour atteindre les principaux objectifs de la première tâche, il est nécessaire d'analyser des problèmes stationnaires reliés, et ceci a de fortes relations avec des objets de nature plus géométrique, comme les surfaces minimales non locales. Une attention particulière sera portée sur la recherche d'estimations a priori, d'inégalités de type Harnack ou Poincaré pour des équations non locales. Un autre outil fondamental pour l'étude des problèmes d'évolution est l'analyse de problèmes de valeurs propres, dont la théorie et les applications dans le cas non local seront traitées dans la deuxième tâche. La troisième tâche a trait à l'analyse de modèles non locaux en écologie. De tels modèles apparaissent comme d'excellents prototypes de problèmes non locaux et les notions et outils développés dans les deux premières tâches seront utiles en particulier pour l'obtention de nouvelles estimations d'expansion pour des invasions écologiques dans des milieux hétérogènes avec dispersion ou compétition à longue distance.

Phénomènes de propagation : blocage et propagation de fronts bistables dans des cylindres à section variable, fronts de transition généralisés dans des milieux hétérogènes, fronts pour des équations cinétiques de type Fisher-KPP, effet d'une hétérogénéité en espace pour un système champ-route, instabilité linéaire des ondes progressives d’un système thermo-diffusif en combustion, fronts et accélération dans les équations de réaction-diffusion non locales pour certaines réactions, non-existence de fronts de transition et phénomènes d’aplatissement pour équations d'évolution intégro-différentielles, effet du noyau de convolution sur la propagation de la solution.
Équations avec diffusion intégrale, propriétés fondamentales, valeurs propres, équations géométriques : théorie spectrale d'opérateurs intégro-différentiels, valeurs propres principales généralisées pour les opérateurs non locaux dans des domaines non bornés, symétrie unidimensionnelle pour des équations non locales, applications harmoniques fractionnaires du point de vue elliptique ou parabolique, espaces de Sobolev fractionnaires, solutions stationnaires de problèmes non locaux, existence et stabilité orbitale pour des systèmes de Schrödinger.
Invasions non locales en écologie mathématique : phénomènes de concentration dans certains modèles démo-génétiques, dynamique interne de composantes neutres le long de fronts d'invasions biologiques, effet d'un changement climatique sur la biodiversité, étude de la survie d'une espèce sous l'influence à la fois d'un changement climatique et d'un effet Allee, équations non locales modélisant la propagation d’épidémies dans un réseau complexe, dynamiques adaptatives et EDP non locales vérifiées par les fonctions génératrices des moments de processus stochastiques du type Wright-Fisher, croissance in vitro d'une tumeur hétérogène et problème de contrôle optimal qui en découle pour limiter la croissance.

Continuation de l'analyse des phénomènes de propagation et de la dynamique d'équations avec dispersion et/ou compétition non locales. Etude d'EDPs avec diffusion intégrale, des propriétés des surfaces non locales minimales. Analyse de problèmes d'invasion non locale en écologie mathématique et en génétique des populations.

89 publications dans des revues ou ouvrages d'audience internationale (avril 2016).
56 communications dans des conférences ou écoles (avril 2016).

L'objectif de ce programme de recherche est de comprendre, dans la plus grande généralité possible, les phénomènes de propagation dans les équations de réaction-diffusion non locales. Il s'agit d'équations présentant des termes de diffusion intégraux, ou encore des vitesses dépendant de quantités intégrales de la solution, des effets de mémoire, ou bien encore des interactions à longue portée dans les termes sources. Nous attendons des comportements très différents des modèles de diffusion locale, avec des jeux d'interférences complètement nouveaux entre termes de diffusion et termes de réaction. A notre connaissance, un tel programme n'a pas encore été entrepris à ce niveau de généralité.

Ceci nécessitera, entre autres choses, l'étude de problèmes fondamentaux d'équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires comportant des diffusions intégrales, l'utilisation et le développement de techniques probabilistes, ainsi que des incursions dans la théorie des mouvements géométriques non locaux. Nous souhaitons appliquer nos résultats au traitement de modèles de propagation en écologie mathématique, comme par exemple les invasions biologiques ou les questions de survie des espèces en environnement variable. De tels modèles font l'objet d'un intérêt croissant. Un des principaux défis actuels en écologie théorique est la prise en compte des hétérogénéités, un type de problème où les méthodes numériques ou asymptotiques rencontrent très vite leurs limites. Ceci rend d'autant plus appropriée une approche de ces modèles par des méthodes mathématiques.

Grâce à un autre projet ANR, PREFERED, qui s'était terminé en 2012 et auquel avaient participé 40% des membres du projet NONLOCAL ainsi que d'autres chercheurs, l'équipe proposante a réalisé des avancées notables dans la compréhension des phénomènes de propagation pour des équations de réaction-diffusion, essentiellement locales. L'équipe est un leader dans le domaine et elle a acquis et développé un ensemble de compétences, probablement unique par son étendue, dans le domaine des modèles de réaction-diffusion. En conséquence, il lui est apparu naturel de présenter un nouveau projet à l'ANR dans le but d'aboutir à de grandes avancées scientifiques dans le domaine des équations non locales. De plus, cela permettra à notre équipe d'accroître sa visibilité aux niveaux national et international, et de développer des collaborations internationales. Les réalisations obtenues au cours des dernières années fournissent un ensemble d'idées et de méthodes qui semblent particulièrement appropriées pour attaquer des modèles non locaux. Même si nous savons que nous allons faire face à de nouvelles difficultés, nous sommes confiants que les connaissances accumulées sont une excellente base pour les recherches envisagées. Une des nouveautés du projet NONLOCAL est qu'il inclut des probabilistes, dont l'expertise sera très utile sur certains aspects importants du programme scientifique. En fait, le projet NONLOCAL comprend un nombre raisonnable de jeunes scientifiques et d'autres plus expérimentés, et les membres du projet NONLOCAL ont une visibilité internationale dans plusieurs domaines de l'analyse appliquée, des EDP non linéaires, des probabilités, ainsi qu'en écologie mathématique. Ces éléments, combinés à la découverte par l'équipe de phénomènes inattendus dans le domaine des équations de réaction-diffusion non locales (vitesses d'invasion non standard, résultats de non-monotonie ou de non-unicité non classiques) sont très prometteurs pour la réussite du projet.