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Groupes, Actions, Métriques, Mesures et théorie Ergodique – GAMME

Groupes, Actions, Métriques, Mesures et théorie Ergodique

Notre projet aborde des thématiques en plein développement qui de plus sont en forte interaction entre elles: les propriétés géométriques et ergodiques des groupes localement compacts, les relations d'equivalence mesurées en lien avec la percolation, l'équivalence mesurée intégrable et ses variantes Lp, l'entropie sofique.

Rassembler des chercheurs français et européens de premier plan travaillant dans des domaines liés à la théorie géométrique/mesurée des groupes, aux probabilités et à la dynamique.

Ces sujets ont connu des avancées majeures au cours des quinze dernières années, et ce grâce à une intégration croissante entre ces différentes thématiques. Nous souhaitons à travers la création de positions postdoctorales, de conférences et de cours avancés, disséminer un savoir acquis à l'échelle internationale, et stimuler de jeunes mathématiciens à travailler à l'intersection de plusieurs domaines riches en problèmes excitants et interdisciplinaires.

Notre méthode repose sur 6 piliers:

1- Permettre des collaborations plus fréquentes et plus efficaces en procurant les ressources nécessaires;

2- Etendre le périmètre des chercheurs travaillant en théorie mesurée des groupes, des invariants L^2 et de la théorie géométrique des groupes;

3- Disséminer notre connaissance internationalement, à travers l'organisation de conférences, de groupes de travails, et de rencontres en France;

4- Participation à la plupart des conférences internationales sur ces sujets, lesquelles ont en général lieu aux Etats Unis ou au Canada;

5- Embauche d'un ou de deux postdocs (l'un d'entre eux finit son contrat en septembre 2016) pour travailler sur ces thématiques.

6- Nous espérons finalement que certains des problèmes mathématiques que nous posons seront attaqués et potentiellement résolus par les nouveaux étudiants en thèses que nous comptons attirer vers nos thématiques.
A cette fin; nous avons l'intention de donner des cours avancés (M2).

Durant les 18 premiers mois de notre projet, nous avons organisé et financé divers rencontres autour des thèmes de notre ANR. La liste est consultable sur le site web de GAMME: math.unice.fr/~indira/GAMMEf.html

Par ailleurs, nous avons recruté un postdoc, David Hume à l’université d’Orsay en septembre 2015. Son contrat s'est achevé en septembre 2016 et nous nous préparons à recruter un autre postdoc cette fois ci à l'ENS Lyon. Ce recrutement a donné lieu à une collaboration fructueuse avec l’un des responsables de notre ANR (deux articles en préparation avec Romain Tessera).
Enfin, mentionnons qu’au cours de cette période, de nombreux travaux (publiés, soumis, ou en cours) ont été effectués par les différents membres de notre consortium, contribuant à faire progresser nos projets scientifiques.

Des conférences et semestres thématiques sont en train d'être organisés et financés par notre ANR.

Les membres de notre ANR ont publié 11 articles dans des revues à comité de lecture pendant cette période.

L'objectif de ce projet est de rassembler des chercheurs français mais aussi européens de premier plan travaillant dans des domaines liés à la théorie géométrique/mesurée des groupes, aux probabilités et à la dynamique. Ces sujets ont connu des avancées majeures au cours des quinze dernières années, et ce grâce à une intégration croissante entre ces différentes thématiques. Nous souhaitons également, à travers la création de positions postdoctorales, de conférences et de cours avancés, disséminer un savoir acquis à l'échelle internationale, et stimuler de jeunes mathématiciens à travailler à l'intersection de plusieurs domaines riches en problèmes excitants et interdisciplinaires.

Notre projet scientifique aborde plusieurs branches de la théorie géométrique et mesurée des groupes. Il s'attaque à cinq thèmes principaux, et s'organise autour de quatre tâches (en fait cinq s'il on tient compte de l'organisation d'évènements scientifiques). Donnons à présent un court aperçu de ces thématiques.

Le premier thème traite des interactions entre la structure algébrique des groupes localement compacts et leurs propriétés géométriques et ergodiques. Il nous semble important d'insister sur le fait que notre but est soit d'explorer des phénomènes spécifiques au monde non-discret, soit d'exploiter les groupes localement compacts afin d'obtenir des résultats nouveau y compris dans le cas discret. L'un des coordinateurs, Romain Tessera, a obtenu d'importants résultats dans cette direction.

Notre second thème est lié à la notion de relation d'équivalence mesurée et se focalise principalement sur deux important problèmes ouverts: le problème du Prix fixe et le problème du coût vs nombres de Betti L2. Ces problèmes ont leur origine dans un travail fondamental du deuxième coordinateur, Damien Gaboriau en 2002. Ces deux problèmes ont de profondes conséquences en théorie de l'équivalence mesurée, en théorie des invariants L2, pour les algèbres de von Neumann, et en percolation.

Au lieu d'un thème, notre troisième partie rassemble plusieurs techniques probabilistes en théorie ergodique: la percolation, la notion de sous-groupe aléatoire invariant, et la frontière de Poisson. Il s'agit d'un vaste sujet, intimement lié aux thèmes précédents, tout en possédant lui-même de fascinants problèmes ouverts. Nous nous attendons à des va-et-vient fructueux entre la théorie ergodique et ces approches probabilistes.
Le quatrième thème combine les points de vue géométrique et mesuré de manière très intriquée. L'équivalence mesurée intégrale (IME) renforce l'équivalence mesurée en prenant en compte la géométrie à grande échelle du groupe, ce grâce à une hypothèse de premier moment fini sur le couplage mesuré. Plusieurs résultats de rigidité surprenants concernant les groupes moyennables, et les réseaux en rang 1 ont récemment porté ce thème au premier plan de la théorie géométrique des groupes.

Finalement, notre dernier thème est davantage porté sur la dynamique topologique à travers les notions de soficité et de groupe plein topologique. Un développement spectaculaire en dynamique topologique est dû à Bowen qui est parvenu à définir une notion d'entropie pour des actions de groupes sofiques. La notion de groupe plein topologique est devenue incontournable en fournissant une source nouvelle d'exemples de groupes de type fini, infinis, dont certains sont simples et moyennables, voire même Liouville. L'entropie du système dynamique sous-jacent est sans doute lié aux propriétés géométriques du groupe plein.

Nous avons choisi chaque membre de notre consortium en recherchant un équilibre idéal entre une grande diversité des compétences, et un lien clair avec au moins l'un des thèmes. Nous espérons parvenir à relever le défi de résoudre plusieurs sinon la plupart des problèmes qui jalonnent ce projet.

Coordinateur du projet

Monsieur Romain Tessera (UNIVERSITE PARIS-SUD / Laboratoire de Mathématique d'Orsay)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

UMPA Unité de Mathématiques Pures et Appliquées
UPSud / LMO UNIVERSITE PARIS-SUD / Laboratoire de Mathématique d'Orsay

Aide de l'ANR 396 776 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2014 - 48 Mois

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